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Découvrir la notionUne équation différentielle du second ordre est une relation entre une fonction inconnue y, sa dérivée première y' et sa dérivée seconde y''. En Terminale, on s'intéresse surtout aux équations linéaires à coefficients constants de la forme y'' + a y' + b y = 0, où a et b sont des réels. Ces équations modélisent de nombreux phénomènes physiques comme les oscillations d'un ressort ou la charge d'un circuit RLC. L'objectif est de trouver toutes les fonctions y qui vérifient cette égalité pour tout réel t. La solution générale dépend de deux constantes arbitraires, car il faut deux conditions initiales pour la déterminer.
📢 Rappel
La dérivée seconde y'' mesure la variation de la dérivée première y' ; elle apparaît dans l'accélération en physique.
📖 Définition
Une équation est linéaire à coefficients constants si elle s'écrit y'' + a y' + b y = 0 avec a et b réels.
🔍 Exemple
L'équation y'' + 4y = 0 décrit un oscillateur harmonique non amorti de pulsation 2.
💡 À retenir : Une équation différentielle du second ordre relie y, y' et y'' ; sa solution générale contient deux constantes.
🧮
La clé de résolutionPour résoudre y'' + a y' + b y = 0, on cherche des solutions de la forme y(t) = e^{r t}, où r est un réel ou un complexe. En substituant dans l'équation, on obtient (r² + a r + b) e^{r t} = 0. Comme l'exponentielle ne s'annule jamais, r doit vérifier l'équation caractéristique r² + a r + b = 0. Le discriminant Δ = a² - 4b détermine la nature des racines et donc la forme des solutions. Cette méthode transforme un problème d'analyse en un simple problème d'algèbre du second degré.
📢 Rappel
Pour une équation du second degré r² + a r + b = 0, le discriminant est Δ = a² - 4b.
⭐ À retenir
L'équation caractéristique s'obtient en remplaçant y'' par r², y' par r et y par 1.
💡 À retenir : Chercher des solutions exponentielles ramène l'équation différentielle à une équation du second degré.
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Trois formes de solutionsSi Δ > 0, l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes r₁ et r₂, et la solution générale est y(t) = C₁ e^{r₁ t} + C₂ e^{r₂ t}. Si Δ = 0, il y a une racine double r₀ = -a/2, et la solution est y(t) = (C₁ + C₂ t) e^{r₀ t}. Si Δ < 0, les racines sont complexes conjuguées α ± iβ, et la solution s'écrit y(t) = e^{α t} (C₁ cos(β t) + C₂ sin(β t)). Dans tous les cas, C₁ et C₂ sont des constantes réelles déterminées par les conditions initiales. Ces trois cas couvrent tous les comportements : exponentiel, critique ou oscillant.
⭐ À retenir
Δ > 0 : deux exponentielles ; Δ = 0 : exponentielle multipliée par un polynôme de degré 1 ; Δ < 0 : oscillations avec facteur exponentiel.
💡 À retenir : Le signe de Δ impose la forme de la solution : exponentielles réelles, exponentielle-polynôme ou oscillations amorties.
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Conditions initialesLes constantes C₁ et C₂ se calculent à l'aide de deux conditions initiales, souvent y(0) et y'(0). Par exemple, pour y'' + 4y = 0, l'équation caractéristique est r² + 4 = 0, donc r = ± 2i. La solution générale est y(t) = C₁ cos(2t) + C₂ sin(2t). Si y(0) = 1 et y'(0) = 0, on trouve C₁ = 1 et C₂ = 0, d'où y(t) = cos(2t). Ce procédé permet d'adapter la solution générale à une situation physique précise.
🔍 Exemple
Un ressort écarté de sa position d'équilibre sans vitesse initiale suit la loi y(t) = cos(2t) si sa pulsation est 2.
⭐ À retenir
Toujours dériver la solution générale avant d'injecter y'(0) pour éviter les erreurs de signe.
💡 À retenir : Les conditions initiales y(0) et y'(0) permettent de fixer les deux constantes de la solution générale.