Équations différentielles du second ordre

Une équation différentielle du second ordre est une relation entre une fonction inconnue y, sa dérivée première y' et sa dérivée seconde y''. En Terminale, on s'intéresse surtout aux équations linéaires à coefficients constants de la forme y'' + a y' + b y = 0, où a et b sont des réels. Ces équations modélisent de nombreux phénomènes physiques comme les oscillations d'un ressort ou la charge d'un circuit RLC. L'objectif est de trouver toutes les fonctions y qui vérifient cette égalité pour tout réel t. La solution générale dépend de deux constantes arbitraires, car il faut deux conditions initiales pour la déterminer.

Pour résoudre y'' + a y' + b y = 0, on cherche des solutions de la forme y(t) = e^{r t}, où r est un réel ou un complexe. En substituant dans l'équation, on obtient (r² + a r + b) e^{r t} = 0. Comme l'exponentielle ne s'annule jamais, r doit vérifier l'équation caractéristique r² + a r + b = 0. Le discriminant Δ = a² - 4b détermine la nature des racines et donc la forme des solutions. Cette méthode transforme un problème d'analyse en un simple problème d'algèbre du second degré.

Si Δ > 0, l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes r₁ et r₂, et la solution générale est y(t) = C₁ e^{r₁ t} + C₂ e^{r₂ t}. Si Δ = 0, il y a une racine double r₀ = -a/2, et la solution est y(t) = (C₁ + C₂ t) e^{r₀ t}. Si Δ < 0, les racines sont complexes conjuguées α ± iβ, et la solution s'écrit y(t) = e^{α t} (C₁ cos(β t) + C₂ sin(β t)). Dans tous les cas, C₁ et C₂ sont des constantes réelles déterminées par les conditions initiales. Ces trois cas couvrent tous les comportements : exponentiel, critique ou oscillant.

Les constantes C₁ et C₂ se calculent à l'aide de deux conditions initiales, souvent y(0) et y'(0). Par exemple, pour y'' + 4y = 0, l'équation caractéristique est r² + 4 = 0, donc r = ± 2i. La solution générale est y(t) = C₁ cos(2t) + C₂ sin(2t). Si y(0) = 1 et y'(0) = 0, on trouve C₁ = 1 et C₂ = 0, d'où y(t) = cos(2t). Ce procédé permet d'adapter la solution générale à une situation physique précise.