Pourquoi renverser les probabilités ?

En terminale, on sait calculer P(A|B) : la probabilité de A sachant B. Mais dans la vie réelle, on connaît souvent l'inverse : par exemple, on sait P(test positif | malade), mais on aimerait P(malade | test positif). Les statistiques bayésiennes permettent ce renversement à l'aide de la formule de Bayes. Cette méthode repose sur l'actualisation d'une croyance initiale, appelée probabilité a priori, grâce à une observation. Elle est utilisée en médecine, en intelligence artificielle et dans les algorithmes de recommandation. Comprendre ce principe évite des interprétations trompeuses des tests et des données.

📢 Rappel

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) si P(B) ≠ 0.

📖 Définition

Une probabilité conditionnelle mesure la chance d'un événement sachant qu'un autre est réalisé.

🔍 Exemple

Si un test est positif chez un malade dans 99% des cas, cela ne dit pas directement la probabilité d'être malade quand le test est positif.

💡 À retenir : On passe de P(observation | hypothèse) à P(hypothèse | observation).

🧮

Prior, vraisemblance, posterior

La formule qui actualise les croyances

Pour une hypothèse H et une observation E, la formule de Bayes relie la probabilité a posteriori P(H|E) à la probabilité a priori P(H). La vraisemblance P(E|H) mesure la compatibilité des données avec l'hypothèse. Le dénominateur P(E) est la probabilité totale de l'observation, souvent calculée avec la formule des probabilités totales. On obtient : P(H|E) = P(E|H)×P(H) / P(E). Cette formule est symétrique : elle permet de remonter de l'effet observé à la cause probable.

📖 Définition

Probabilité a priori P(H) : croyance avant l'observation.

📖 Définition

Vraisemblance P(E|H) : probabilité d'observer E si H est vraie.

⭐ À retenir

Le dénominateur P(E) se calcule par la formule des probabilités totales.

💡 À retenir : Posterior ∝ Vraisemblance × Prior

🩺

Dépistage et faux positifs

Un test positif est-il si fiable ?

Prenons une maladie touchant 1% d'une population. Un test a une sensibilité de 99% (vrai positif si malade) et un taux de faux positifs de 5% (test positif chez un non-malade). Sur 10 000 personnes, on attend 100 malades et 9 900 non-malades. Le test détecte 99 malades et déclenche 495 faux positifs. Parmi les 594 tests positifs, seuls 99 sont réellement malades, soit environ 16,7%. Ce résultat contre-intuitif montre l'importance de la prévalence.

🔍 Exemple

Sur 594 tests positifs, seuls 99 correspondent à des malades : VPP ≈ 16,7%.

⭐ À retenir

La valeur prédictive positive dépend de la prévalence, pas seulement de la sensibilité.

💡 À retenir : Avec une maladie rare, même un bon test produit beaucoup de faux positifs.

📊

Actualisation bayésienne

Au-delà du calcul : une méthode de pensée

Le bayésianisme ne se limite pas à une formule : c'est une démarche itérative. Après une première observation, la probabilité a posteriori devient la nouvelle probabilité a priori pour l'information suivante. Cela permet d'accumuler les preuves de manière cohérente. Les filtres anti-spam, la reconnaissance vocale et les prévisions météorologiques utilisent ce principe. En terminale, maîtriser cette logique prépare à la statistique inférentielle et au raisonnement scientifique.

⭐ À retenir

Le bayésianisme formalise l'apprentissage : on révise ses croyances avec les données.

📢 Rappel

Les probabilités totales permettent de calculer P(E) quand H et ¬H forment une partition.

💡 À retenir : La probabilité a posteriori devient le nouveau point de départ.

Fiche de révision Exercices

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