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De la variable discrète à la variable continueContrairement aux variables discrètes qui prennent des valeurs isolées, une variable aléatoire continue peut prendre toute valeur dans un intervalle. Sa loi de probabilité est définie par une fonction de densité f positive et d'intégrale égale à 1 sur ℝ. La probabilité d'un événement [a;b] est l'aire sous la courbe de f entre a et b. Ainsi, la probabilité d'une valeur isolée est toujours nulle.
📢 Rappel
Variable discrète : prend un nombre fini de valeurs avec P(X=x_i) = p_i.
📖 Définition
Fonction de densité f : positive, continue par morceaux, ∫_{-∞}^{+∞} f(x) dx = 1.
💡 À retenir : La probabilité est une aire sous la courbe de densité.
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Équiprobabilité sur un intervalleLa loi uniforme sur [a;b] modélise une variable aléatoire où toutes les valeurs de l'intervalle ont la même densité de probabilité. Sa densité est constante : f(x)=1/(b-a) pour x∈[a;b], 0 ailleurs. La probabilité d'un sous-intervalle [c;d] est proportionnelle à sa longueur. L'espérance est le milieu de l'intervalle : E(X) = (a+b)/2. Exemple typique : l'heure d'arrivée aléatoire à un arrêt de bus.
📖 Définition
Densité uniforme : f(x)=1/(b-a) sur [a;b].
🔍 Exemple
Bus toutes les 12 min, arrivée au hasard : temps d'attente suit U([0;12]).
💡 À retenir : Tous les intervalles de même longueur ont la même probabilité.
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Modéliser des durées de vie sans mémoireLa loi exponentielle de paramètre λ>0 est utilisée pour modéliser des durées de vie sans vieillissement, comme la durée de vie d'un composant électronique ou le temps entre deux appels téléphoniques. Sa densité est f(x)=λ e^{-λx} pour x≥0, 0 sinon. Sa fonction de répartition est F(x)=P(X≤x)=1-e^{-λx}. L'espérance vaut E(X)=1/λ. La propriété clé est l'absence de mémoire : le futur ne dépend pas du passé.
📖 Définition
Densité exponentielle : f(x)=λ e^{-λx} pour x≥0, λ>0.
⭐ À retenir
Espérance : E(X)=1/λ. P(X>t)=e^{-λt}.
💡 À retenir : La loi exponentielle est sans mémoire : le futur ne dépend pas du passé.
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Choisir le bon modèleLa loi uniforme s'applique quand la variable est bornée et que toutes les valeurs sont également probables (ex : heure d'arrivée, erreur d'arrondi). La loi exponentielle modélise des durées de vie sans usure, où le taux de défaillance est constant (ex : composants électroniques, temps d'attente entre événements rares). Retenez que l'uniforme a une densité constante sur un intervalle fini, tandis que l'exponentielle a une densité décroissante sur [0;+∞[. Le choix dépend du contexte et de la propriété de non-vieillissement.
📢 Rappel
Uniforme : densité constante f(x)=1/(b-a). Exponentielle : densité f(x)=λ e^{-λx}.
🔍 Exemple
Temps entre deux clients dans une file d'attente : loi exponentielle.
💡 À retenir : Uniforme : intervalle borné, exponentielle : durée sans mémoire.