En biostatistiques, on cherche souvent à savoir si deux variables quantitatives sont liées. Par exemple, la taille et le poids des individus : plus une personne est grande, plus elle a tendance à être lourde. On parle alors de corrélation positive. Si l’une augmente quand l’autre diminue (comme la consommation de tabac et la capacité respiratoire), la corrélation est négative. Enfin, si aucun lien n’apparaît, on dit qu’il n’y a pas de corrélation linéaire. Le nuage de points (scatter plot) permet de visualiser cette relation.
📖 Définition
Corrélation : mesure statistique exprimant le degré de liaison linéaire entre deux variables quantitatives.
🔍 Exemple
Exemple : le poids (kg) et la taille (cm) chez l’adulte sont généralement corrélés positivement.
💡 À retenir : La corrélation décrit la direction et la force d’une relation linéaire entre deux variables quantitatives.
Complète la phrase
Si le nuage de points montre une tendance descendante, la corrélation est dite .
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Le coefficient r de Bravais-Pearson
Coefficient de corrélation linéaire
Le coefficient de corrélation r quantifie la force et le sens de la liaison. Il se calcule à partir de la covariance et des écarts-types : r = Cov(X,Y) / (s_X * s_Y). r est sans unité et toujours compris entre -1 et 1. Plus r est proche de -1 ou 1, plus la corrélation est forte. Un r proche de 0 indique une absence de corrélation linéaire. Attention : r ne détecte que les relations linéaires ; une relation curviligne peut avoir un r proche de 0.
📢 Rappel
La covariance mesure la variation conjointe de deux variables.
⭐ À retenir
Le coefficient de corrélation r est toujours compris entre -1 et 1.
💡 À retenir : r = -1 : corrélation négative parfaite ; r = 0 : pas de corrélation linéaire ; r = 1 : corrélation positive parfaite.
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Droite des moindres carrés
Régression linéaire simple
La régression linéaire simple modélise la relation entre une variable explicative X et une variable réponse Y par une droite d’équation Y = a + bX. Le paramètre b est la pente : il représente la variation moyenne de Y lorsque X augmente d’une unité. Le paramètre a est l’ordonnée à l’origine. On estime a et b par la méthode des moindres carrés, qui minimise la somme des carrés des résidus (écarts entre valeurs observées et valeurs prédites). Cette droite permet de prédire Y pour de nouvelles valeurs de X.
📖 Définition
Régression linéaire simple : modèle statistique qui exprime Y comme une fonction affine de X plus un terme d’erreur.
🔍 Exemple
Prédire la pression artérielle systolique (Y) à partir de l’âge (X) : PAS = a + b × âge.
💡 À retenir : La droite de régression Y = a + bX minimise Σ(Y_obs - Y_pred)².
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Qualité et limites du modèle
R², résidus et précautions
Le coefficient de détermination R² mesure la proportion de variance de Y expliquée par X. Il varie de 0 à 1 ; plus il est proche de 1, meilleur est l’ajustement. L’analyse des résidus (différences entre valeurs observées et prédites) permet de vérifier les hypothèses : linéarité, homoscédasticité, indépendance et normalité. Enfin, corrélation n’implique pas causalité : une forte corrélation peut être due à un facteur de confusion.
⭐ À retenir
Toujours examiner le graphique des résidus pour valider les hypothèses du modèle.
📢 Rappel
La corrélation mesure une association, pas un lien de cause à effet.
💡 À retenir : R² = part de la variabilité de Y expliquée par le modèle.