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Définition et premières racinesLa racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif qui, élevé au carré, donne a. On la note √a. Par exemple, √9 = 3 car 3² = 9. Attention, √a n'existe que si a ≥ 0. La racine carrée de 0 est 0.
📖 Définition
La racine carrée de a, notée √a, est l'unique nombre positif dont le carré vaut a.
📢 Rappel
Un carré parfait est un nombre entier dont la racine carrée est un entier (ex: 1, 4, 9, 16, 25...).
💡 À retenir : √a est toujours un nombre positif ou nul.
🧮
Propriétés de calculPour a ≥ 0 et b ≥ 0, √(a×b) = √a × √b. Pour a ≥ 0 et b > 0, √(a/b) = √a / √b. Ces propriétés permettent de simplifier des expressions. Exemple: √(12) = √(4×3) = √4 × √3 = 2√3. Attention: il n'y a pas de propriété simple pour √(a+b).
⭐ À retenir
√(a×b) = √a × √b et √(a/b) = √a / √b (b≠0).
🔍 Exemple
√(50) = √(25×2) = √25 × √2 = 5√2.
💡 À retenir : On ne peut pas additionner directement les racines : √a + √b ≠ √(a+b).
✂️
SimplificationPour simplifier √n, on décompose n en produit d'un carré parfait et d'un autre facteur. On extrait la racine du carré parfait. Exemple: √72 = √(36×2) = 6√2. On peut aussi réduire des expressions comme 3√8 + 5√2 = 3×2√2 + 5√2 = 6√2 + 5√2 = 11√2.
📢 Rappel
Liste des carrés parfaits utiles : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
💡 À retenir : On ne peut additionner que des racines de même radicande (même nombre sous la racine).
⚖️
Calculs et équationsPour multiplier deux racines, on utilise √a × √b = √(ab). Exemple: √6 × √3 = √18 = 3√2. Pour résoudre x² = a avec a ≥ 0, les solutions sont x = √a ou x = -√a. Exemple: x² = 25 donne x = 5 ou x = -5. Si a < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.
⭐ À retenir
(√a)² = a pour a ≥ 0. Mais √(a²) = |a| (valeur absolue).
💡 À retenir : x² = a (a≥0) a deux solutions opposées : √a et -√a.