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Définitions et propriétés fondamentalesUne probabilité quantifie la chance qu’un événement se réalise. Elle est toujours comprise entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain). L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé univers, souvent noté Ω. La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le composent. Pour tout événement A, P(Ā) = 1 – P(A).
📖 Définition
Un événement est un ensemble d’issues d’une expérience aléatoire. L’univers Ω est l’ensemble de toutes les issues possibles.
📢 Rappel
Si les issues sont équiprobables, P(A) = (nombre d’issues favorables à A) / (nombre total d’issues).
💡 À retenir : Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 qui mesure la vraisemblance d’un événement.
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Conditionnement, indépendance et théorème de BayesLa probabilité conditionnelle P(A|B) est la probabilité que A se réalise sachant que B est déjà réalisé. Elle se calcule par P(A|B) = P(A∩B) / P(B) si P(B) > 0. Deux événements sont indépendants si P(A∩B) = P(A)×P(B). Le théorème de Bayes permet d’inverser un conditionnement : P(A|B) = [P(B|A)×P(A)] / P(B). Il est très utilisé en médecine pour interpréter les résultats de tests diagnostiques.
🔍 Exemple
Un test de dépistage a une sensibilité de 95 % et une spécificité de 90 %. Si la prévalence de la maladie est de 1 %, la valeur prédictive positive est d’environ 8,8 %.
⭐ À retenir
P(Maladie|Test+) = [P(Test+|Maladie)×P(Maladie)] / P(Test+), avec P(Test+) = P(Test+|Maladie)×P(Maladie) + P(Test+|PasMaladie)×P(PasMaladie).
💡 À retenir : Bayes relie la probabilité d’une maladie sachant un test positif à la sensibilité et la spécificité du test.
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Lois binomiale et de PoissonLa loi binomiale modélise le nombre de succès dans n épreuves indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p. Sa formule est P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k). La loi de Poisson modélise le nombre d’événements rares survenant dans un intervalle de temps ou d’espace, avec un paramètre λ égal au nombre moyen d’événements. Sa formule est P(X=k) = e^{-λ} λ^k / k!. Ces deux lois sont discrètes et très utilisées en épidémiologie.
📢 Rappel
Le coefficient binomial C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) donne le nombre de façons de choisir k succès parmi n épreuves.
🔍 Exemple
Si 10 % des patients ont un effet secondaire, la probabilité que 2 patients sur 15 en présentent est P(X=2) = C(15,2)×0,1^2×0,9^13 ≈ 0,267.
💡 À retenir : Binomiale : succès/échecs répétés. Poisson : événements rares.
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Loi normale et théorème central limiteLa loi normale, ou loi de Gauss, est une distribution continue définie par sa moyenne μ et son écart-type σ. Sa courbe en cloche est symétrique autour de μ. Environ 68 % des valeurs sont dans [μ-σ, μ+σ], 95 % dans [μ-2σ, μ+2σ] et 99,7 % dans [μ-3σ, μ+3σ]. La loi normale centrée réduite Z = (X-μ)/σ suit une N(0,1) et permet d’utiliser des tables standardisées. Le théorème central limite justifie son omniprésence : une somme de nombreuses variables indépendantes tend vers une loi normale.
📖 Définition
La loi normale N(μ,σ²) a pour densité f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)²/(2σ²)).
⭐ À retenir
Pour calculer P(X ≤ a), on centre et réduit : Z = (a-μ)/σ, puis on utilise la table de la loi N(0,1).
💡 À retenir : 95 % des valeurs d’une loi normale sont à moins de 2 écarts-types de la moyenne.