Le théorème de Moivre-Laplace

Lorsqu’une variable aléatoire X_n suit une loi binomiale B(n,p), sa distribution devient difficile à calculer quand n est grand. Le théorème de Moivre-Laplace affirme que la variable centrée réduite Z_n = (X_n - np)/√(np(1-p)) se rapproche d’une loi normale centrée réduite N(0,1) lorsque n tend vers l’infini. En pratique, on utilise cette approximation dès que n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5. Cela permet de remplacer des calculs de coefficients binomiaux par des lectures de table ou de calculatrice. L’approximation est d’autant meilleure que p est proche de 0,5.

📢 Rappel

Une variable X suit une loi binomiale B(n,p) si elle compte le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes de probabilité p.

📖 Définition

La convergence en loi signifie que les probabilités calculées avec Z_n se rapprochent de celles de la loi N(0,1) quand n augmente.

⭐ À retenir

Conditions usuelles d’approximation : n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5.

💡 À retenir : Pour n grand, la binomiale centrée réduite converge vers la loi normale centrée réduite.

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La courbe en cloche

Loi normale centrée réduite N(0,1)

La loi normale centrée réduite, notée N(0,1), est la loi d’une variable aléatoire continue Z d’espérance 0 et d’écart-type 1. Sa densité de probabilité est la fonction f définie sur R par f(x)=1/√(2π) e^{-x²/2}. La courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, en forme de cloche. L’aire totale sous la courbe vaut 1, et l’aire entre a et b donne P(a≤Z≤b). On retient les valeurs approchées : P(-1≤Z≤1)≈0,68 et P(-1,96≤Z≤1,96)≈0,95.

📖 Définition

Une densité de probabilité est une fonction positive dont l’aire totale sous la courbe vaut 1.

🔍 Exemple

P(Z≤0)=0,5 car la courbe est symétrique et 0 est la médiane.

⭐ À retenir

P(-1≤Z≤1)≈0,68 : environ 68% des valeurs sont à moins d’un écart-type de la moyenne.

💡 À retenir : La loi N(0,1) est centrée en 0, symétrique, d’écart-type 1.

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Généraliser la cloche

Paramètres μ et σ

Une variable X suit une loi normale N(μ,σ²) si la variable centrée réduite Z=(X-μ)/σ suit la loi N(0,1). Le paramètre μ est l’espérance : il fixe le centre de la cloche. Le paramètre σ est l’écart-type : il mesure la dispersion des valeurs autour de μ. Plus σ est grand, plus la cloche est étalée. On utilise les intervalles de confiance usuels : environ 68% des valeurs sont dans [μ-σ ; μ+σ], environ 95% dans [μ-2σ ; μ+2σ], et environ 99,7% dans [μ-3σ ; μ+3σ].

📢 Rappel

L’espérance est la moyenne théorique ; l’écart-type mesure l’écart moyen des valeurs à la moyenne.

🔍 Exemple

Si X~N(170,6²), alors environ 95% des valeurs sont entre 158 et 182.

⭐ À retenir

Intervalle à 95% : [μ-2σ ; μ+2σ].

💡 À retenir : μ centre la courbe, σ contrôle son étalement.

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Utiliser la calculatrice

Calculs de probabilités

Pour calculer P(a≤X≤b) lorsque X suit une loi normale, on utilise la fonction NormalFrep ou normalCdf de la calculatrice en renseignant a, b, μ et σ. Par exemple, si X~N(170,6²), alors P(165≤X≤175)≈0,595. On peut aussi déterminer un seuil k tel que P(X≤k)=p avec la fonction FréqNorm ou invNorm. Ces outils sont essentiels en statistiques pour modéliser des grandeurs comme la taille, la masse ou les erreurs de mesure. Il faut toujours vérifier que le phénomène étudié est bien symétrique et unimodal avant d’utiliser une loi normale.

🔍 Exemple

Taille des adultes : X~N(170,6²) ; P(165≤X≤175)≈0,595.

⭐ À retenir

Toujours identifier μ et σ avant d’utiliser NormalFrep(a,b,μ,σ).

💡 À retenir : La calculatrice donne directement les probabilités pour une loi normale.

Fiche de révision Exercices

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