Qu'est-ce qu'une conique ?

Une conique est une courbe obtenue en coupant un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. Selon l'inclinaison du plan, on obtient une parabole, une ellipse ou une hyperbole. Chaque conique peut aussi être définie par un foyer F, une directrice d et un nombre e appelé excentricité : un point M appartient à la conique si MF = e × d(M,d). Pour la parabole, e = 1 ; pour l'ellipse, 0 < e < 1 ; pour l'hyperbole, e > 1. Le cercle est un cas particulier d'ellipse avec e = 0.

📖 Définition

Une conique est l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet.

📢 Rappel

La distance d'un point à une droite est la longueur du segment perpendiculaire abaissé du point sur la droite.

🔍 Exemple

La surface d'un verre d'eau incliné a une forme elliptique.

💡 À retenir : L'excentricité e distingue les trois coniques : e=1 parabole, 0<e<1 ellipse, e>1 hyperbole.

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Un foyer et une directrice

La parabole

La parabole est l'ensemble des points M équidistants d'un point fixe F appelé foyer et d'une droite fixe d appelée directrice. Dans un repère orthonormé, si le sommet est à l'origine et l'axe est vertical, l'équation réduite est x² = 2 p y, avec le foyer F(0 ; p/2) et la directrice d : y = -p/2. Le paramètre p mesure l'ouverture de la parabole. Les antennes paraboliques et les phares de voiture utilisent une propriété remarquable : tout rayon parallèle à l'axe se réfléchit en passant par le foyer.

⭐ À retenir

Pour une parabole de sommet O, le foyer est à une distance p/2 du sommet sur l'axe.

🔍 Exemple

Une antenne parabolique concentre les ondes parallèles à son axe vers le récepteur placé au foyer.

💡 À retenir : La parabole est la conique d'excentricité 1 et possède un seul foyer.

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Deux foyers et une somme constante

L'ellipse

L'ellipse est l'ensemble des points M dont la somme des distances à deux foyers F et F' est constante : MF + MF' = 2a. Dans un repère centré en O, l'équation réduite est x²/a² + y²/b² = 1, avec a > b. Les foyers sont sur le grand axe aux points F(c ; 0) et F'(-c ; 0), où c² = a² - b². L'excentricité vaut e = c/a et reste strictement inférieure à 1. Les orbites des planètes autour du Soleil sont des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers.

📢 Rappel

La distance entre deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) est √((xB-xA)²+(yB-yA)²).

🔍 Exemple

La première loi de Kepler : l'orbite de la Terre est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer.

⭐ À retenir

Dans une ellipse, c² = a² - b², donc c est toujours inférieur à a.

💡 À retenir : Pour une ellipse, plus l'excentricité est proche de 0, plus la forme est circulaire.

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Deux foyers et une différence constante

L'hyperbole

L'hyperbole est l'ensemble des points M dont la différence des distances à deux foyers F et F' est constante en valeur absolue : |MF - MF'| = 2a. Son équation réduite centrée en O est x²/a² - y²/b² = 1, avec les foyers F(c ; 0) et F'(-c ; 0) où c² = a² + b². Elle possède deux asymptotes d'équations y = (b/a)x et y = -(b/a)x. L'excentricité e = c/a est strictement supérieure à 1. Certaines comètes suivent une trajectoire hyperbolique et ne reviennent jamais près du Soleil.

📖 Définition

Une hyperbole est l'ensemble des points dont la différence des distances à deux foyers est constante.

🔍 Exemple

Les tours de refroidissement des centrales ont souvent une forme hyperboloïde, engendrée par rotation d'une hyperbole.

⭐ À retenir

Pour une hyperbole, c² = a² + b², donc c est supérieur à a.

💡 À retenir : L'hyperbole a deux asymptotes et une excentricité strictement supérieure à 1.

Fiche de révision Exercices

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