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Des états et des transitionsUn graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dont les sommets représentent les états possibles d'un système, et les arêtes les transitions possibles entre ces états. Sur chaque arête partant d'un sommet, on inscrit la probabilité de passer de cet état à un autre en une étape. La somme des probabilités portées par les arêtes issues d'un même sommet vaut toujours 1, car depuis un état donné, on passe obligatoirement à un état du système. On peut ainsi modéliser des situations concrètes comme la fidélité à une marque, la météo ou l'alternance entre deux abonnements.
📖 Définition
Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré où la somme des poids des arêtes sortantes d'un sommet vaut 1.
🔍 Exemple
État A : être abonné à une salle de sport ; état B : ne plus être abonné. Une arête A→B de poids 0,2 signifie que 20 % des abonnés se désabonnent d'un mois à l'autre.
💡 À retenir : Chaque sommet = un état, chaque arête = une probabilité de transition.
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Organiser les probabilitésPour résumer un graphe probabiliste, on utilise une matrice de transition M. Le coefficient m_{ij} de la matrice indique la probabilité de passer de l'état i à l'état j en une étape. Chaque ligne de M correspond à un état de départ et la somme de chaque ligne vaut 1. Par exemple, si 80 % des clients restent fidèles à une marque A et 20 % vont vers B, tandis que 30 % des clients de B reviennent vers A et 70 % restent chez B, on obtient la matrice ci-dessous. Cette écriture compacte permet ensuite tous les calculs d'évolution.
📢 Rappel
Une matrice 2×2 se note avec deux lignes et deux colonnes ; la somme des coefficients d'une ligne se calcule simplement.
⭐ À retenir
La somme des coefficients de chaque ligne d'une matrice de transition vaut toujours 1.
💡 À retenir : Les lignes décrivent l'état de départ, les colonnes l'état d'arrivée.
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Prévoir l'évolutionUne chaîne de Markov modélise l'évolution d'un système où l'état futur ne dépend que de l'état présent, pas du passé. On note P_n la matrice ligne donnant la distribution de probabilité sur les états à l'étape n. Pour passer à l'étape suivante, on multiplie P_n par la matrice de transition : P_{n+1} = P_n M. Si P_0 = (0,6 ; 0,4), cela signifie qu'au départ 60 % des individus sont dans l'état A et 40 % dans l'état B. En multipliant par M, on obtient la répartition un mois plus tard.
📖 Définition
Une chaîne de Markov est une suite d'états où la probabilité de transition ne dépend que de l'état actuel.
🔍 Exemple
P_0 = (0,6 ; 0,4) puis P_1 = P_0 M = (0,6×0,8+0,4×0,3 ; 0,6×0,2+0,4×0,7) = (0,60 ; 0,40).
💡 À retenir : Tout le passé est résumé dans l'état présent : c'est la propriété de Markov.
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Comportement à long termeAprès un grand nombre d'étapes, la distribution P_n peut se stabiliser : on obtient une distribution invariante π telle que π = π M. Cela signifie que la répartition n'évolue plus d'une étape à l'autre. Pour la trouver, on résout un système de deux équations : π_1 + π_2 = 1 et π_1 = 0,8π_1 + 0,3π_2. On trouve ici π = (0,6 ; 0,4). Concrètement, à long terme, 60 % des individus seront dans l'état A et 40 % dans l'état B, quelle que soit la répartition initiale.
⭐ À retenir
Pour trouver π, résoudre π M = π avec π_1 + π_2 = 1.
🔍 Exemple
Avec M = [[0,8,0,2],[0,3,0,7]], la distribution stable est π = (0,6 ; 0,4).
💡 À retenir : La distribution invariante donne la répartition vers laquelle le système converge.