Convexité : une histoire de courbure

Imagine une cuillère vue de profil : selon le sens, elle forme un creux ou une bosse. En mathématiques, une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est tournée vers le haut, comme un bol posé à l'endroit. Elle est concave si sa courbe est tournée vers le bas, comme un bol retourné. Intuitivement, une fonction convexe a des pentes de tangentes qui augmentent, tandis qu'une fonction concave a des pentes qui diminuent. Cette idée de courbure permet de décrire des trajectoires, des coûts ou des phénomènes physiques.

📢 Rappel

La dérivée f' donne le coefficient directeur de la tangente : si f' croît, les tangentes se redressent vers le haut.

🔍 Exemple

La fonction carré x↦x² est convexe sur ℝ : sa courbe est une parabole qui sourit.

💡 À retenir : Convexe = courbe en creux (∪), concave = courbe en bosse (∩).

🧮

Le critère qui simplifie tout

Dérivée seconde et convexité

Pour étudier la convexité sans tracer la courbe, on utilise la dérivée seconde. Si f est deux fois dérivable sur un intervalle I, alors f est convexe sur I lorsque f''(x) est positive ou nulle pour tout x de I. À l'inverse, f est concave sur I lorsque f''(x) est négative ou nulle. La dérivée seconde mesure la vitesse de variation de la pente : si f''>0, les tangentes se redressent, la courbe se creuse. Ce critère est très efficace pour les fonctions polynômes, rationnelles ou exponentielles.

📖 Définition

La dérivée seconde f'' est la dérivée de f'. Elle indique comment évolue la pente des tangentes.

⭐ À retenir

On calcule f', puis f'', et on étudie le signe de f'' pour conclure.

💡 À retenir : Le signe de f'' donne la convexité : f'' ≥ 0 ⇒ convexe, f'' ≤ 0 ⇒ concave.

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Quand la courbe change de côté

Point d'inflexion : le virage de la courbe

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente et change de convexité. Concrètement, c'est le moment où une descente en ski passe de tourner à gauche à tourner à droite, ou où une route de montagne change de sens de virage. Pour le trouver, on cherche les valeurs de x où f''(x) s'annule en changeant de signe. Attention, f''(x)=0 ne suffit pas : il faut un vrai changement de signe, comme pour x↦x³ en 0. L'abscisse du point d'inflexion est alors la valeur qui sépare les intervalles de convexité.

🔍 Exemple

Pour f(x)=x³, f''(x)=6x : négative avant 0, positive après 0, donc (0;0) est un point d'inflexion.

📢 Rappel

Un extremum local de f correspond à f' qui s'annule, mais un point d'inflexion correspond à f'' qui s'annule.

💡 À retenir : Un point d'inflexion = f'' s'annule ET change de signe.

💡

Du cours au concret

Applications et méthode d'étude

La convexité sert à modéliser des situations réelles : en économie, un coût marginal croissant correspond à une fonction de coût convexe; en physique, la position d'un mobile peut présenter un point d'inflexion lors d'un changement d'accélération. Pour étudier une fonction, on suit une méthode en trois temps : calculer f'', étudier son signe sur l'intervalle, puis dresser le tableau de convexité en indiquant les points d'inflexion. Cette lecture permet d'anticiper les phases de croissance ou de décroissance de la pente. Avec un peu d'entraînement, tu liras la courbure d'une fonction comme un pilote lit un virage.

⭐ À retenir

Toujours justifier un point d'inflexion par un changement de signe de f'', pas seulement par f''(x)=0.

🔍 Exemple

En économie, un coût total convexe indique des rendements décroissants : produire plus coûte de plus en plus cher par unité.

💡 À retenir : Méthode : f'' → signe de f'' → convexité et points d'inflexion.

Fiche de révision Exercices

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