Équation d'un cercle

Dans un repère orthonormé, un cercle est l'ensemble des points situés à une même distance R du centre Ω(a;b). Cette condition se traduit par ΩM² = R². En utilisant la formule de la distance, on obtient l'équation cartésienne du cercle. Elle s'écrit (x-a)² + (y-b)² = R². Par exemple, le cercle de centre Ω(2;-1) et de rayon 3 a pour équation (x-2)²+(y+1)²=9.

📢 Rappel

La distance entre deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) est AB = √((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²).

📖 Définition

Un cercle est l'ensemble des points M tels que ΩM = R, où Ω est le centre et R le rayon.

💡 À retenir : Un cercle de centre (a;b) et de rayon R a pour équation (x-a)²+(y-b)²=R².

Complète la phrase

Complète l'équation du cercle de centre A(2;-3) et de rayon 5 : (x-)²+(y+)²=25.

🧮

Forme développée

Retrouver centre et rayon

Parfois l'équation d'un cercle est donnée sous forme développée : x²+y²+ax+by+c=0. Pour retrouver le centre et le rayon, on regroupe les termes en x et en y puis on complète les carrés. Cette méthode transforme l'expression en une somme de deux carrés. On identifie alors directement les coordonnées du centre et la valeur de R². Par exemple, x²+y²-4x+6y-12=0 devient (x-2)²+(y+3)²=25.

⭐ À retenir

Pour compléter le carré x²+px, on écrit (x+p/2)² - (p/2)².

🔍 Exemple

x²-4x = (x-2)²-4 et y²+6y = (y+3)²-9.

💡 À retenir : Toujours compléter les carrés pour passer de la forme développée à la forme (x-a)²+(y-b)²=R².

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Fonction polynôme du second degré

La parabole

Une parabole est la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 : f(x)=ax²+bx+c avec a≠0. Sa forme dépend du signe de a : si a>0 elle est ouverte vers le haut, si a<0 vers le bas. Le sommet S a pour abscisse x_S=-b/(2a) et pour ordonnée f(x_S). La droite verticale x=x_S est l'axe de symétrie de la parabole. Dans la vie quotidienne, on retrouve des paraboles dans les trajectoires de ballons, les câbles de ponts suspendus ou les antennes paraboliques.

📖 Définition

Une parabole est la représentation graphique d'une fonction trinôme du second degré.

🔍 Exemple

La trajectoire d'un ballon de basket est modélisée par une parabole.

💡 À retenir : Le sommet d'une parabole y=ax²+bx+c a pour abscisse -b/(2a).

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Forme canonique

Sommet et équation

La forme canonique d'un trinôme est y=a(x-α)²+β. Le sommet de la parabole a alors pour coordonnées (α;β). Cette écriture permet de lire directement le sommet et l'axe de symétrie x=α. Pour déterminer a, on utilise les coordonnées d'un autre point de la parabole. Par exemple, une parabole de sommet S(1;-2) passant par A(3;0) vérifie 0=a(3-1)²-2, donc a=0,5. Son équation est y=0,5(x-1)²-2.

⭐ À retenir

Toute parabole d'équation y=ax²+bx+c peut s'écrire y=a(x-α)²+β.

🔍 Exemple

Une antenne parabolique utilise la propriété géométrique de la parabole pour concentrer les ondes en son foyer.

💡 À retenir : La forme canonique y=a(x-α)²+β donne immédiatement le sommet S(α;β).

Fiche de révision Exercices

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