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Taux de variationImaginez une voiture qui accélère : sa vitesse change à chaque instant. La dérivation permet de mesurer cette variation instantanée. En mathématiques, on étudie la pente de la tangente à une courbe en un point. Le nombre dérivé f'(a) indique si la fonction monte, descend ou stagne en ce point. On l'obtient en faisant tendre l'écart entre deux points vers 0.
💡 À retenir : Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux de variation quand l'intervalle devient infiniment petit.
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Limite du taux d'accroissementPour une fonction f définie autour de a, on calcule le taux de variation entre a et a+h : (f(a+h)-f(a))/h. Si ce quotient tend vers un réel L quand h tend vers 0, alors f est dérivable en a et f'(a)=L. Ce nombre est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. On dit que f'(a) est le nombre dérivé de f en a.
💡 À retenir : f'(a) = lim_{h→0} (f(a+h)-f(a))/h, si cette limite existe.
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Fonction dérivéeOn définit la fonction dérivée f' qui à tout x associe f'(x). Pour les fonctions usuelles : (x^n)' = n x^{n-1}, (1/x)' = -1/x^2, (√x)' = 1/(2√x). Les opérations : (u+v)' = u'+v', (k×u)' = k×u'. Exemple : f(x)=3x^2+5x-2 donne f'(x)=6x+5. La dérivée permet de connaître la pente de la tangente en tout point.
💡 À retenir : La dérivée de x^n est n x^{n-1}.
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Tangente et variationsLa dérivée sert à trouver l'équation de la tangente : y = f'(a)(x-a)+f(a). Elle permet aussi d'étudier les variations de f : si f'(x) > 0 sur un intervalle, f est croissante ; si f'(x) < 0, f est décroissante. En économie, le coût marginal est la dérivée du coût total. En physique, la vitesse instantanée est la dérivée de la position.
💡 À retenir : f'(x) > 0 ⇔ f croissante, f'(x) < 0 ⇔ f décroissante.