📐
Repérage et vecteursDans un repère orthonormé (O; i, j, k), chaque point M est repéré par un triplet (x, y, z). Le vecteur AB se calcule par (xB - xA, yB - yA, zB - zA). Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2, (zA+zB)/2). La distance AB est donnée par √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²).
💡 À retenir : Un point de l'espace est défini par trois coordonnées (x, y, z) dans un repère orthonormé.
✖️
Produit scalaireLe produit scalaire de deux vecteurs u(x,y,z) et v(x',y',z') est u·v = ||u|| ||v|| cos(u,v). En repère orthonormé, il se calcule simplement par u·v = xx' + yy' + zz'. Il permet de vérifier l'orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. On l'utilise aussi pour déterminer l'angle entre deux vecteurs.
💡 À retenir : u·v = xx' + yy' + zz' dans un repère orthonormé.
📏
Droites et plansUne droite passant par A et de vecteur directeur u(a,b,c) est représentée paramétriquement : x = xA + t a, y = yA + t b, z = zA + t c, avec t réel. Un plan peut être défini par un point et un vecteur normal n(a,b,c) ; son équation cartésienne est ax + by + cz + d = 0. Le vecteur normal est orthogonal à tout vecteur du plan.
💡 À retenir : Un plan a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
🔍
Intersections et distancesDeux plans peuvent être parallèles (strictement ou confondus) ou sécants selon une droite. Une droite peut couper un plan en un point, être incluse dans le plan ou lui être strictement parallèle. La distance d'un point A(xA, yA, zA) à un plan P d'équation ax+by+cz+d=0 est |axA+byA+czA+d| / √(a²+b²+c²).
💡 À retenir : Distance d'un point à un plan : |axA+byA+czA+d| / √(a²+b²+c²).