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Du degré au radianLe cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine. Un angle peut être mesuré en degrés ou en radians. La mesure en radians correspond à la longueur de l'arc intercepté. Un tour complet fait 2π radians, soit 360°. Pour convertir, on utilise la proportionnalité : 180° = π rad. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Chaque point du cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ).
💡 À retenir : Un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon.
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Cosinus et sinusLes fonctions cosinus et sinus associent à tout réel x (en radians) les coordonnées du point correspondant sur le cercle. cos est paire : cos(-x) = cos(x). sin est impaire : sin(-x) = -sin(x). Les deux fonctions sont périodiques de période 2π. Leurs valeurs oscillent entre -1 et 1. On connaît les valeurs remarquables : cos(0)=1, sin(π/2)=1, cos(π)=-1, etc.
💡 À retenir : cos et sin sont 2π-périodiques et bornées entre -1 et 1.
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Relations et équationsLa relation fondamentale est cos²(x) + sin²(x) = 1 pour tout réel x. On définit aussi tan(x) = sin(x)/cos(x) pour cos(x) ≠ 0. Ces identités permettent de résoudre des équations comme cos(x)=a ou sin(x)=a. Par exemple, cos(x)=1/2 donne x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ. On utilise le cercle trigonométrique pour visualiser les solutions.
💡 À retenir : cos²(x) + sin²(x) = 1 est l'identité fondamentale.
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ModélisationLes fonctions trigonométriques modélisent des phénomènes périodiques : marées, oscillations d'un pendule, courant alternatif. Par exemple, la hauteur d'eau dans un port peut s'écrire h(t) = A cos(ωt + φ) + h₀. A est l'amplitude, ω la pulsation, φ la phase. Comprendre ces paramètres permet de prévoir les variations. On peut aussi étudier la dérivée de sin et cos pour analyser la vitesse de variation.
💡 À retenir : Les fonctions sin et cos modélisent les phénomènes cycliques.