Une primitive d’une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F' = f. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante. On note ∫f(x)dx = F(x) + C, où C est une constante réelle. Par exemple, une primitive de f(x)=2x est F(x)=x² + C.
💡 À retenir : Primitiver, c’est « inverser » la dérivation : trouver F telle que F’ = f.
Complète la phrase
Si f(x)=3x^2, alors une primitive est F(x)= + C.
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Tableau des primitives à connaître
Primitives des fonctions usuelles
Pour calculer des primitives, on utilise les formules inverses des dérivées. Par exemple, la primitive de x^n (n ≠ -1) est x^{n+1}/(n+1). Celle de 1/x est ln|x|. Pour e^{kx}, c’est (1/k)e^{kx}. Attention aux coefficients multiplicatifs : si f(x)=a·u'(x), alors F(x)=a·u(x). Entraîne-toi à reconnaître ces formes pour gagner en rapidité.
💡 À retenir : La primitive de u'·u^n est u^{n+1}/(n+1) (n ≠ -1).
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Aire sous la courbe et intégrale
L'intégrale définie
L’intégrale de a à b d’une fonction f continue et positive représente l’aire (en unités d’aire) du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites x=a, x=b. Le théorème fondamental relie intégrale et primitive : ∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a), où F est une primitive de f. Cette formule puissante permet de calculer des aires sans passer par des sommes de Riemann.
💡 À retenir : L'intégrale définie mesure l'aire sous la courbe.
🧮
Méthodes et applications
Calculer une intégrale
Pour calculer une intégrale, on cherche une primitive de f, puis on évalue F(b)-F(a). On utilise la linéarité : ∫(αf+βg)=α∫f+β∫g. La relation de Chasles permet de découper l'intervalle. Exemple concret : si v(t)=3t²+2 (m/s) est la vitesse d’un mobile, la distance parcourue entre t=0 et t=2 s est ∫_0^2 v(t)dt = [t³+2t]_0^2 = 12 m.
💡 À retenir : L'intégrale de la vitesse donne la distance parcourue.