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Superposables parfaitementDeux triangles sont égaux si on peut les superposer exactement : leurs côtés et leurs angles sont deux à deux de même mesure. Pour prouver que deux triangles sont égaux, on utilise trois cas : côté-côté-côté (CCC), côté-angle-côté (CAC) et angle-côté-angle (ACA). Attention, l'ordre des lettres indique la position des éléments connus. Ces cas évitent d'avoir à vérifier toutes les mesures.
📖 Définition
Triangles égaux : triangles superposables, donc ayant exactement les mêmes dimensions et la même forme.
📢 Rappel
Dans un triangle, la somme des angles vaut toujours 180°. Connaître deux angles suffit pour trouver le troisième.
💡 À retenir : Deux triangles sont égaux si leurs côtés et angles sont deux à deux de même mesure.
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Mêmes formes, tailles différentesDeux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux égaux et leurs côtés proportionnels. Le rapport de proportionnalité k s'appelle le rapport de similitude. Si k > 1, le triangle est un agrandissement ; si k < 1, c'est une réduction. Pour démontrer la similitude, il suffit de trouver deux angles égaux (le troisième le sera forcément) ou de vérifier la proportionnalité des trois côtés.
⭐ À retenir
Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre, alors les triangles sont semblables (cas AA).
🔍 Exemple
Un triangle avec des angles de 50° et 60° est semblable à tout triangle ayant ces deux mêmes mesures d'angles.
💡 À retenir : Des triangles semblables ont des angles égaux et des côtés proportionnels.
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Méthodes et astucesPour des triangles égaux, repère l'un des trois cas (CCC, CAC, ACA) dans l'énoncé. Pour des triangles semblables, cherche deux angles égaux ou trois côtés proportionnels. N'oublie pas que des triangles égaux sont un cas particulier de triangles semblables avec k = 1. Entraîne-toi à justifier chaque étape avec les propriétés du cours.
🔍 Exemple
Triangle ABC : AB=3, BC=4, AC=5. Triangle DEF : DE=6, EF=8, DF=10. Les côtés sont proportionnels (×2), donc ils sont semblables.
💡 À retenir : Des triangles égaux sont toujours semblables (k = 1), mais la réciproque est fausse.
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Utilité concrèteLes triangles égaux assurent la stabilité des structures (ponts, charpentes). Les triangles semblables servent à mesurer des hauteurs inaccessibles par la méthode de l'ombre : un bâton vertical et son ombre forment un triangle semblable à celui formé par un arbre et son ombre. On utilise aussi les échelles sur les cartes (rapport de similitude). Ces notions sont partout autour de nous !
🔍 Exemple
Un bâton de 1 m projette une ombre de 0,5 m. Un arbre projette une ombre de 4 m. L'arbre mesure 8 m (car 1/0,5 = h/4).
💡 À retenir : Les triangles semblables permettent de calculer des distances sans les mesurer directement.