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Comprendre la notion de limiteImaginez que vous vous approchez d'un mur sans jamais le toucher : votre distance au mur tend vers 0. En mathématiques, une limite décrit le comportement d'une fonction f(x) lorsque x se rapproche d'une valeur a, ou lorsque x devient très grand (x→+∞). On distingue limite finie (ex : lim_{x→2} (3x+1) = 7) et limite infinie (ex : lim_{x→0+} 1/x = +∞). On peut aussi considérer la limite à gauche (x→a-) et à droite (x→a+).
💡 À retenir : La limite d'une fonction en un point ne dépend pas de la valeur de la fonction en ce point, mais de son comportement à proximité.
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Comprendre les asymptotesLorsque x tend vers l'infini, si f(x) se rapproche d'une valeur finie L, on dit que la droite y=L est une asymptote horizontale. Si f(x) tend vers ±∞ quand x tend vers une valeur finie a, la droite x=a est une asymptote verticale. Par exemple, f(x)=1/x admet une asymptote verticale x=0 et une asymptote horizontale y=0. Pour une fonction rationnelle, on compare les degrés du numérateur et du dénominateur pour déterminer la limite en ±∞.
💡 À retenir : Une asymptote est une droite que la courbe épouse à l'infini, sans jamais la toucher (ou en la touchant en un point isolé).
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Fonctions continuesUne fonction f est continue en un point a si lim_{x→a} f(x) = f(a). Graphiquement, cela signifie que l'on peut tracer la courbe sans lever le crayon. Les fonctions usuelles (polynômes, sinus, cosinus, exponentielle, logarithme) sont continues sur leur domaine de définition. La continuité sur un intervalle permet d'utiliser des théorèmes puissants comme le théorème des valeurs intermédiaires.
💡 À retenir : La continuité assure que de petits changements de x entraînent de petits changements de f(x).
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Un outil pour résoudre des équationsSi f est continue sur un intervalle [a,b] et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un réel c dans [a,b] tel que f(c)=k. Ce théorème permet de prouver l'existence d'une solution à une équation sans la calculer. Par exemple, pour f(x)=x^3+x-1 sur [0,1], f(0)=-1 et f(1)=1, donc l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans ]0,1[. On peut ensuite encadrer cette solution par dichotomie.
💡 À retenir : Le TVI garantit l'existence d'une solution, pas son unicité.