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Quand une information change la donneImaginez que vous lancez un dé équilibré à 6 faces. La probabilité d'obtenir un 6 est 1/6. Mais si quelqu'un vous dit que le résultat est pair, cette information modifie la probabilité : elle devient 1/3. C'est le principe des probabilités conditionnelles : on recalcule la probabilité d'un événement A sachant qu'un événement B est déjà réalisé. On note cette probabilité P_B(A) ou P(A|B).
💡 À retenir : Une probabilité conditionnelle réévalue la chance d'un événement à la lumière d'une information nouvelle.
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La formule et un exemple concretLa probabilité de A sachant B se calcule avec la formule : P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B), à condition que P(B) ≠ 0. Exemple : dans un lycée, 60 % des élèves aiment les maths (M), 40 % aiment la physique (P), et 25 % aiment les deux. La probabilité qu'un élève aime la physique sachant qu'il aime les maths est P_M(P) = 0,25 / 0,60 ≈ 0,42.
💡 À retenir : La formule P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) est le pilier du calcul conditionnel.
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Représenter visuellement les probabilitésUn arbre pondéré permet d'organiser les probabilités conditionnelles sur plusieurs niveaux. Chaque branche porte une probabilité conditionnelle, et la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1. Pour trouver la probabilité d'une issue (feuille), on multiplie les probabilités le long du chemin. La formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement en additionnant les probabilités des chemins qui y mènent.
💡 À retenir : Un arbre pondéré transforme un problème complexe en une simple lecture de branches.
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Quand les événements n'influencent pasDeux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre. Mathématiquement, cela se traduit par P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ou, si P(B) > 0, P_B(A) = P(A). Exemple : obtenir un 6 au dé puis pile à pile ou face. Le résultat du dé n'affecte pas la pièce. Attention : indépendance ≠ incompatibilité (A ∩ B = ∅).
💡 À retenir : L'indépendance signifie que l'information sur B ne change rien à la probabilité de A.