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De nouveaux nombresLes nombres complexes étendent les réels pour donner un sens à la racine carrée de -1. On note i le nombre tel que i² = -1. Tout complexe z s'écrit de manière unique z = a + ib avec a et b réels : a est la partie réelle Re(z), b la partie imaginaire Im(z). L'addition et la multiplication suivent les règles habituelles en remplaçant i² par -1. Le conjugué de z est z̅ = a - ib, utile pour simplifier des quotients.
📖 Définition
Un nombre complexe est une expression a+ib où a,b ∈ ℝ et i² = -1.
🔍 Exemple
(3+2i) + (1-5i) = 4-3i ; (2+i)(1-3i) = 2-6i+i-3i² = 2-5i+3 = 5-5i.
💡 À retenir : i² = -1 et tout nombre complexe s'écrit a+ib avec a,b réels.
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Module et argumentDans le plan complexe, un point M(z) a pour coordonnées (a,b). Le module de z, noté |z|, est la distance OM = √(a²+b²). L'argument θ est l'angle orienté (u, OM). On a alors a = |z|cosθ et b = |z|sinθ, d'où la forme trigonométrique : z = r(cosθ + i sinθ) avec r = |z| et θ = arg(z) modulo 2π. Cette forme facilite la multiplication et la division de complexes.
📢 Rappel
Le module d'un complexe z = a+ib est |z| = √(a²+b²).
⭐ À retenir
Pour multiplier deux complexes, on multiplie les modules et on additionne les arguments.
💡 À retenir : z = r(cosθ + i sinθ) avec r = |z| et θ = arg(z) [2π].
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La forme exponentielleLa formule d'Euler e^(iθ) = cosθ + i sinθ permet d'écrire tout complexe non nul sous forme exponentielle : z = r e^(iθ) avec r = |z| et θ = arg(z). Cette notation simplifie les calculs de produits, puissances et quotients. Par exemple, pour z₁ = r₁e^(iθ₁) et z₂ = r₂e^(iθ₂), on a z₁z₂ = r₁r₂ e^(i(θ₁+θ₂)). La formule de Moivre (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) découle directement de cette écriture.
⭐ À retenir
e^(iπ) + 1 = 0, l'identité d'Euler, relie les cinq constantes fondamentales.
💡 À retenir : z = r e^(iθ) avec r = |z| et θ = arg(z) [2π].
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Résolution d'équationsDans C, toute équation du second degré az²+bz+c=0 à coefficients réels (a≠0) admet deux solutions, éventuellement confondues. On calcule le discriminant Δ = b²-4ac. Si Δ>0, deux solutions réelles. Si Δ=0, une solution réelle double. Si Δ<0, deux solutions complexes conjuguées : z₁ = (-b + i√|Δ|)/(2a) et z₂ = (-b - i√|Δ|)/(2a). Les équations de degré supérieur se ramènent souvent à des formes plus simples.
💡 À retenir : Si Δ<0, les solutions sont conjuguées : z = (-b ± i√|Δ|)/(2a).