Lorsqu'on choisit k éléments distincts parmi n en tenant compte de l'ordre, on parle d'arrangement. Par exemple, pour un podium (or, argent, bronze) parmi 8 athlètes, l'ordre compte. Le nombre d'arrangements se note A_n^k et se calcule par le produit n*(n-1)*...*(n-k+1). On utilise la formule avec factorielle : A_n^k = n!/(n-k)!.
📖 Définition
Arrangement : liste ordonnée de k éléments distincts pris parmi n, notée A_n^k.
🔍 Exemple
Pour un podium (3 places) parmi 8 coureurs, il y a A_8^3 = 8*7*6 = 336 podiums possibles.
💡 À retenir : Un arrangement est une liste ordonnée de k éléments distincts choisis parmi n.
Complète la phrase
Combien de codes à 4 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres de 1 à 6 ? Réponse :
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Ordonner tous les éléments
Permutations : le cas k = n
Une permutation est un arrangement de tous les éléments d'un ensemble. C'est un cas particulier où k = n. Le nombre de permutations de n éléments distincts est n! (factorielle n). Par exemple, le nombre de façons de ranger 5 livres sur une étagère est 5! = 120.
📢 Rappel
n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, avec 0! = 1.
🔍 Exemple
Avec 4 lettres A, B, C, D, on peut former 4! = 24 mots distincts.
💡 À retenir : Permutation : arrangement de n éléments parmi n, soit n! possibilités.
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Sélection sans ordre
Combinaisons : choisir sans ordonner
Une combinaison est un choix de k éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre. Par exemple, former une équipe de 3 élèves parmi 10. Le nombre de combinaisons se note C_n^k ou (n k). On le calcule par C_n^k = n!/(k!(n-k)!). Contrairement aux arrangements, l'ordre n'importe pas.
📖 Définition
C_n^k = (n k) = n!/(k!(n-k)!) est le nombre de combinaisons de k éléments parmi n.
🔍 Exemple
Choisir 2 délégués parmi 5 sans distinction de rôle : C_5^2 = 10.
💡 À retenir : Combinaison : sous-ensemble de k éléments choisis parmi n, sans ordre.
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Propriétés et triangle de Pascal
Propriétés des combinaisons
Les coefficients binomiaux possèdent des propriétés utiles : symétrie (C_n^k = C_n^{n-k}), relation de Pascal (C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k), et somme des coefficients pour n fixé égale 2^n. Le triangle de Pascal permet de les calculer de proche en proche. Ces propriétés sont essentielles pour simplifier des calculs de dénombrement.