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Notion fondamentaleUne suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, notée (u_n). Chaque terme u_n est associé à un indice n entier naturel. Par exemple, la température maximale relevée chaque jour à midi forme une suite. On peut la définir de deux façons : explicite ou par récurrence. La maîtrise des suites est essentielle pour modéliser des évolutions économiques ou biologiques.
💡 À retenir : Une suite est une fonction de N dans R, ordonnée par indices.
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Explicite et récurrenteLe mode explicite donne directement u_n en fonction de n : u_n = f(n). Par exemple, u_n = 3n + 2 permet de calculer u_5 = 17 sans étapes intermédiaires. Le mode récurrent définit chaque terme à partir du précédent : u_{n+1} = f(u_n) avec un premier terme donné. Pour u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 1, on obtient u_1, u_2, puis u_3 successivement. Ces deux modes sont complémentaires pour étudier l'évolution d'une suite.
💡 À retenir : Explicite : u_n = f(n) ; Récurrente : u_{n+1} = f(u_n).
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Croissance et décroissanceÉtudier le sens de variation d'une suite, c'est déterminer si elle est croissante, décroissante ou constante. On compare u_{n+1} et u_n : si u_{n+1} > u_n pour tout n, la suite est strictement croissante. On peut étudier le signe de u_{n+1} - u_n ou, pour une suite positive, comparer u_{n+1}/u_n à 1. Exemple concret : une population de bactéries qui double chaque heure est croissante. La variation permet de prévoir l'évolution à long terme.
💡 À retenir : Croissante si u_{n+1} - u_n > 0, décroissante si < 0.
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Deux familles clésUne suite arithmétique a une raison r constante : u_{n+1} = u_n + r. Sa forme explicite est u_n = u_0 + n×r. Exemple : une épargne avec versement mensuel fixe. Une suite géométrique a une raison q constante : u_{n+1} = u_n × q. Sa forme explicite est u_n = u_0 × q^n. Exemple : la croissance d'un capital à intérêts composés. Ces deux types de suites modélisent de nombreuses situations réelles.
💡 À retenir : Arithmétique : +r ; Géométrique : ×q.