Un vecteur est un outil mathématique qui représente un déplacement (translation) dans le plan. Il est défini par trois caractéristiques : une direction (la droite qui le porte), un sens (indiqué par la flèche) et une longueur appelée norme. Par exemple, le vent peut être modélisé par un vecteur : sa direction (nord-sud), son sens (vers le sud) et sa force (longueur). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont exactement la même direction, le même sens et la même longueur, même s'ils ne partent pas du même point. Ainsi, un vecteur n'est pas attaché à un point de départ : c'est un objet libre.
💡 À retenir : Un vecteur est un déplacement : il ne dépend pas de son point de départ.
Complète la phrase
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son et sa longueur (ou norme).
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Calculer avec les points
Coordonnées d'un vecteur
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on peut décrire un vecteur par ses coordonnées. Si on connaît les coordonnées des points A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B), le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées (x_B - x_A ; y_B - y_A). Ces nombres représentent le déplacement horizontal (Δx) et vertical (Δy) pour aller de A à B. Exemple concret : sur un plan de ville, pour aller de la mairie A(2,1) à la poste B(5,4), le vecteur déplacement est (3 ; 3). La norme (distance à vol d'oiseau) se calcule avec \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
💡 À retenir : Les coordonnées d'un vecteur se lisent comme un déplacement : Δx et Δy.
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Addition et multiplication par un réel
Opérations sur les vecteurs
On peut additionner deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées. Si \vec{u}(x, y) et \vec{v}(x', y'), alors \vec{u} + \vec{v} = (x + x', y + y'). Géométriquement, cela correspond à enchaîner deux translations : la relation de Chasles \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. On peut aussi multiplier un vecteur par un nombre réel k : k\vec{u} = (k x, k y). Cela agrandit ou réduit la longueur, et si k est négatif, le sens s'inverse. Par exemple, 2\vec{u} double la longueur, -\vec{u} est le vecteur opposé.
💡 À retenir : Additionner des vecteurs revient à additionner leurs coordonnées.
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Alignement et parallélisme
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs \vec{u}(x, y) et \vec{v}(x', y') sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre, c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que \vec{v} = k\vec{u}. En pratique, on utilise le déterminant : xy' - x'y = 0. Cette condition permet de vérifier si trois points A, B, C sont alignés : les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} doivent être colinéaires. On peut aussi démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles en montrant que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires. Exemple : \vec{u}(2,4) et \vec{v}(1,2) sont colinéaires car 2×2 - 4×1 = 0.
💡 À retenir : Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul.