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Découper l'universPour calculer la probabilité d'un événement A, on peut le décomposer selon une partition de l'univers. Une partition est un ensemble d'événements incompatibles deux à deux et dont la réunion est l'univers entier. La formule des probabilités totales affirme que P(A) est la somme des probabilités des chemins menant à A dans un arbre pondéré. Cette méthode est très utile quand on connaît les probabilités conditionnelles P(A|B_i) et les probabilités des événements B_i. Elle transforme un problème complexe en une somme de cas simples.
📢 Rappel
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) si P(B) ≠ 0.
📖 Définition
Une partition de l'univers Ω est un ensemble d'événements B₁, B₂, ..., Bₙ deux à deux incompatibles et tels que B₁∪B₂∪...∪Bₙ = Ω.
💡 À retenir : P(A) = somme des probabilités des branches qui aboutissent à A.
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Un exemple qui parleImaginons un test de dépistage pour une maladie rare. On sait que 2 % de la population est malade (M) et 98 % ne l'est pas (non M). Le test est positif chez 99 % des malades et chez 3 % des non-malades. Pour trouver la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait un test positif, on additionne les deux chemins : malade puis positif, et non malade puis positif. L'arbre pondéré permet de visualiser ces deux cas et d'appliquer la formule des probabilités totales. On obtient P(T) = 0,02 × 0,99 + 0,98 × 0,03 = 0,0492. Ainsi, environ 4,9 % de la population a un test positif.
🔍 Exemple
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.
⭐ À retenir
Toujours vérifier que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
💡 À retenir : P(T) = P(M∩T) + P(nonM∩T) = 0,0198 + 0,0294 = 0,0492.
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Inverser le conditionnementLe théorème de Bayes permet de calculer une probabilité conditionnelle « inverse » : connaissant P(A|B), on cherche P(B|A). Il s'obtient en divisant la probabilité du chemin B∩A par la probabilité totale de A. Dans l'exemple médical, on peut ainsi répondre à la question : si le test est positif, quelle est la probabilité d'être réellement malade ? On calcule P(M|T) = P(M∩T) / P(T) = 0,0198 / 0,0492 ≈ 0,402. Ce résultat surprenant montre qu'un test positif n'implique pas toujours la maladie, surtout quand la maladie est rare.
⭐ À retenir
Le théorème de Bayes inverse le conditionnement : P(B|A) = P(A|B)P(B) / P(A).
🔍 Exemple
En médecine, la valeur prédictive positive d'un test dépend fortement de la prévalence de la maladie.
💡 À retenir : P(M|T) ≈ 0,40 : même avec un test positif, il n'y a que 40 % de chances d'être malade.
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Éviter les confusionsBeaucoup d'erreurs viennent de la confusion entre P(A|B) et P(B|A). Dans le dépistage, P(T|M) = 0,99 est la sensibilité du test, tandis que P(M|T) ≈ 0,40 est la valeur prédictive positive. Ces deux nombres sont très différents car la maladie est rare. Avant d'appliquer Bayes, il faut toujours identifier clairement l'événement conditionnant et l'événement conditionné. Un arbre pondéré ou un tableau à double entrée aide à structurer les données. Enfin, vérifier que la somme des probabilités totales donne bien 1 pour l'événement étudié.
📢 Rappel
P(A|B) et P(B|A) ne sont égales que si P(A) = P(B), ce qui est rare en pratique.
⭐ À retenir
Toujours se demander : « Quelle est la probabilité de quoi sachant quoi ? » avant de calculer.
💡 À retenir : Ne pas confondre P(A|B) et P(B|A) : le conditionnement n'est pas symétrique.