Probabilités totales et théorème de Bayes

Pour calculer la probabilité d'un événement A, on peut le décomposer selon une partition de l'univers. Une partition est un ensemble d'événements incompatibles deux à deux et dont la réunion est l'univers entier. La formule des probabilités totales affirme que P(A) est la somme des probabilités des chemins menant à A dans un arbre pondéré. Cette méthode est très utile quand on connaît les probabilités conditionnelles P(A|B_i) et les probabilités des événements B_i. Elle transforme un problème complexe en une somme de cas simples.

Imaginons un test de dépistage pour une maladie rare. On sait que 2 % de la population est malade (M) et 98 % ne l'est pas (non M). Le test est positif chez 99 % des malades et chez 3 % des non-malades. Pour trouver la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait un test positif, on additionne les deux chemins : malade puis positif, et non malade puis positif. L'arbre pondéré permet de visualiser ces deux cas et d'appliquer la formule des probabilités totales. On obtient P(T) = 0,02 × 0,99 + 0,98 × 0,03 = 0,0492. Ainsi, environ 4,9 % de la population a un test positif.

Le théorème de Bayes permet de calculer une probabilité conditionnelle « inverse » : connaissant P(A|B), on cherche P(B|A). Il s'obtient en divisant la probabilité du chemin B∩A par la probabilité totale de A. Dans l'exemple médical, on peut ainsi répondre à la question : si le test est positif, quelle est la probabilité d'être réellement malade ? On calcule P(M|T) = P(M∩T) / P(T) = 0,0198 / 0,0492 ≈ 0,402. Ce résultat surprenant montre qu'un test positif n'implique pas toujours la maladie, surtout quand la maladie est rare.

Beaucoup d'erreurs viennent de la confusion entre P(A|B) et P(B|A). Dans le dépistage, P(T|M) = 0,99 est la sensibilité du test, tandis que P(M|T) ≈ 0,40 est la valeur prédictive positive. Ces deux nombres sont très différents car la maladie est rare. Avant d'appliquer Bayes, il faut toujours identifier clairement l'événement conditionnant et l'événement conditionné. Un arbre pondéré ou un tableau à double entrée aide à structurer les données. Enfin, vérifier que la somme des probabilités totales donne bien 1 pour l'événement étudié.