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Représenter une série doubleUne série statistique à deux variables associe à chaque individu deux valeurs numériques, notées x_i et y_i. On la représente dans un repère orthogonal par un nuage de points, chaque point ayant pour coordonnées (x_i ; y_i). Le point moyen G, de coordonnées (\bar{x} ; \bar{y}), résume la position centrale du nuage. Il correspond au centre de gravité de l'ensemble des points. Son calcul utilise les moyennes arithmétiques des deux séries.
📢 Rappel
La moyenne d'une série x se calcule par \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i.
📖 Définition
Un nuage de points est la représentation graphique des couples (x_i ; y_i) d'une série double.
🔍 Exemple
Pour la taille et la masse d'élèves, chaque point du nuage représente un élève avec sa taille en abscisse et sa masse en ordonnée.
💡 À retenir : Le point moyen G(\bar{x} ; \bar{y}) est le centre de gravité du nuage de points.
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Ajuster le nuage par une droiteLorsque le nuage de points a une forme allongée, on peut chercher une droite qui résume la tendance : c'est l'ajustement affine. La droite des moindres carrés est la droite d'équation y = a x + b qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. Le coefficient directeur a se calcule à partir de la covariance et de la variance de x. L'ordonnée à l'origine b se déduit ensuite en utilisant le point moyen : b = \bar{y} - a \bar{x}.
📖 Définition
L'ajustement affine consiste à approcher le nuage de points par une droite d'équation y = a x + b.
⭐ À retenir
La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen G(\bar{x} ; \bar{y}).
💡 À retenir : La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts verticaux.
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Mesurer la qualité du lienLe coefficient de corrélation linéaire r mesure l'intensité et le sens du lien entre les deux variables. Il est toujours compris entre -1 et 1. Plus r est proche de 1 ou de -1, plus l'ajustement affine est pertinent. Un r proche de 0 indique une absence de lien linéaire, même si une autre relation peut exister. Ce coefficient n'a pas d'unité et ne dépend pas des échelles choisies.
⭐ À retenir
Un coefficient r proche de 0,9 ou -0,9 indique un fort lien linéaire ; r proche de 0 indique un lien faible ou nul.
🔍 Exemple
Si r = 0,92, l'ajustement affine est de bonne qualité et la droite résume bien la tendance du nuage.
💡 À retenir : r est compris entre -1 et 1 : proche de 1 ou -1, le lien linéaire est fort.
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Utiliser le modèle avec prudenceUne fois la droite d'ajustement obtenue, on peut estimer la valeur de y pour une valeur donnée de x en remplaçant x dans l'équation. Si x appartient à l'intervalle des valeurs observées, on parle d'interpolation ; c'est généralement fiable. Si x est hors de cet intervalle, on parle d'extrapolation, qui peut être risquée car la tendance linéaire peut ne pas se prolonger. Il faut toujours vérifier la pertinence du modèle et la présence éventuelle de valeurs aberrantes.
⭐ À retenir
Une prévision par interpolation est plus fiable qu'une extrapolation hors du domaine observé.
🔍 Exemple
Si les données portent sur des x de 5 à 15, estimer y pour x = 25 est une extrapolation risquée.
💡 À retenir : L'extrapolation hors du domaine observé doit être utilisée avec prudence.