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Découvrir la droiteEn géométrie, une droite est un ensemble infini de points alignés. Dans un repère, on peut la décrire par une équation qui lie l'abscisse x et l'ordonnée y de chaque point. La forme réduite est y = mx + p, où m est le coefficient directeur (pente) et p l'ordonnée à l'origine (valeur de y quand x=0). Par exemple, un taxi facture 2€ de prise en charge puis 1,5€ par km : le prix y pour x km est y = 1,5x + 2. Cette équation représente une droite de pente 1,5 passant par (0,2).
💡 À retenir : Une droite est l'ensemble des points (x,y) vérifiant y = mx + p.
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À partir de deux pointsPour déterminer l'équation d'une droite passant par deux points A(xA, yA) et B(xB, yB), on calcule d'abord le coefficient directeur m = (yB - yA)/(xB - xA). Ensuite, on utilise l'un des points pour trouver l'ordonnée à l'origine p en résolvant yA = m xA + p. Exemple : avec A(1,3) et B(4,9), m = (9-3)/(4-1) = 2, puis 3 = 2×1 + p donne p = 1, donc y = 2x + 1. Cette méthode fonctionne pour toute droite non verticale.
💡 À retenir : Le coefficient directeur m = (yB - yA)/(xB - xA) mesure la pente.
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Droites parallèles et perpendiculairesDeux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Par exemple, y = 2x + 1 et y = 2x - 3 sont parallèles. Elles sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs vaut -1 : m1 × m2 = -1. Ainsi, une droite perpendiculaire à y = 2x + 1 aura une pente de -1/2. Dans la vie courante, deux routes qui se croisent à angle droit ont des pentes opposées inverses.
💡 À retenir : Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs vaut -1.
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Point d'intersectionPour trouver le point où deux droites se coupent, on résout le système formé par leurs équations. On égale les expressions de y : si d1 : y = 2x + 1 et d2 : y = -x + 4, on résout 2x + 1 = -x + 4, ce qui donne 3x = 3 donc x = 1, puis y = 3. Le point d'intersection est (1,3). Cette technique est utile pour comparer deux offres, par exemple deux forfaits téléphoniques : on cherche le nombre de minutes pour lequel le prix est identique.
💡 À retenir : Résoudre un système d'équations revient à trouver le point commun aux deux droites.