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Définition et notationsUne fonction f associe à chaque nombre x d'un ensemble D un unique nombre noté f(x). x est l'antécédent, f(x) est l'image. L'ensemble D est le domaine de définition. Par exemple, la fonction f(x)=2x+3 transforme 1 en 5 : 1 est l'antécédent, 5 est l'image. On note f : x ↦ f(x).
💡 À retenir : Une fonction, c'est une machine qui transforme un nombre en un autre.
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Courbe et sens de variationLa courbe d'une fonction permet de visualiser son comportement. Quand on se déplace de gauche à droite, si la courbe monte, la fonction est croissante ; si elle descend, elle est décroissante ; si elle est horizontale, elle est constante. Exemple : sur [-2;1] la courbe monte, donc f croissante ; sur [1;4] elle descend, f décroissante. On peut repérer les changements de tendance.
💡 À retenir : La courbe monte = fonction croissante, descend = décroissante.
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Méthode algébriquePour prouver qu'une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle I, on compare f(a) et f(b) pour a < b dans I. On calcule la différence f(b)-f(a) et on étudie son signe. Si f(b)-f(a) ≥ 0, f est croissante ; si f(b)-f(a) ≤ 0, f est décroissante. Exemple avec f(x)=x²-4x+3 sur [2;+∞[ : f(b)-f(a) = (b-a)(b+a-4). Comme b-a>0 et b+a-4>0, la différence est positive, donc f(b) > f(a) : f est croissante.
💡 À retenir : Le signe de f(b)-f(a) donne le sens de variation.
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Synthèse et extremumsLe tableau de variations résume le sens de variation d'une fonction sur son domaine. On y indique les intervalles, les flèches montantes ou descendantes, et les valeurs aux bornes. Un maximum local est la plus grande valeur atteinte sur un intervalle ; un minimum local est la plus petite. Par exemple, f décroissante sur [-3;1] puis croissante sur [1;4] : f(1) est un minimum local. Le tableau permet de visualiser rapidement les extremums.
💡 À retenir : Un tableau de variations donne une vue d'ensemble du comportement de la fonction.