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Les basesDans un triangle rectangle, on repère trois côtés : l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit), le côté adjacent et le côté opposé à un angle aigu donné. Les rapports de longueurs de ces côtés définissent le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle. Par exemple, pour un angle aigu, cos(angle) = adjacent/hypoténuse. Ces rapports ne dépendent que de l’angle, pas de la taille du triangle. On utilise souvent le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA.
📖 Définition
Hypoténuse : côté le plus long, opposé à l’angle droit.
📖 Définition
Côté adjacent : côté qui touche l’angle aigu (autre que l’hypoténuse).
📖 Définition
Côté opposé : côté en face de l’angle aigu.
💡 À retenir : SOH CAH TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.
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Calculer une longueurPour calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle, on choisit le bon rapport trigonométrique en fonction des données. Si on connaît un angle et l’hypoténuse, on utilise le cosinus pour trouver le côté adjacent : cos(angle) = adjacent/hypoténuse. On isole ensuite la longueur cherchée. Par exemple, pour trouver le côté adjacent a avec une hypoténuse de 10 cm et un angle de 40°, on calcule a = 10 × cos(40°) ≈ 7,66 cm. On procède de même avec le sinus ou la tangente selon les côtés connus.
⭐ À retenir
Pour trouver un côté, on isole la longueur inconnue : côté = hypoténuse × cos(angle) si on cherche l’adjacent.
💡 À retenir : Choisir le bon rapport : cos pour adjacent/hypoténuse, sin pour opposé/hypoténuse, tan pour opposé/adjacent.
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Calculer un angleQuand on connaît deux côtés d’un triangle rectangle, on peut calculer un angle aigu en utilisant les fonctions inverses (arccos, arcsin, arctan). Par exemple, si on connaît le côté opposé et l’hypoténuse, on utilise sin(angle) = opposé/hypoténuse, puis on calcule l’angle avec la touche sin⁻¹ (ou arcsin) de la calculatrice. Ainsi, si opposé = 4 cm et hypoténuse = 5 cm, sin(angle) = 4/5 = 0,8, donc angle = sin⁻¹(0,8) ≈ 53,1°. On vérifie que l’angle est bien aigu (< 90°).
📢 Rappel
La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc l’angle aigu cherché est inférieur à 90°.
💡 À retenir : Touches de la calculatrice : cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹ (ou arccos, arcsin, arctan).
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Application concrèteLa trigonométrie permet de mesurer des hauteurs sans y accéder, comme un arbre ou un bâtiment. On se place à une distance connue de l’objet, on mesure l’angle d’élévation avec un clinomètre, puis on applique la tangente : hauteur = distance × tan(angle). Par exemple, à 20 m d’un arbre, l’angle mesuré est 35°. La hauteur de l’arbre est 20 × tan(35°) ≈ 14 m. On ajoute la hauteur de l’observateur pour obtenir la hauteur totale. Cette méthode est utilisée par les géomètres.
💡 À retenir : tan(angle) = hauteur / distance, donc hauteur = distance × tan(angle).