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Épreuve et schéma de BernoulliLa loi binomiale modélise le nombre de succès lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p). Par exemple, lancer une pièce équilibrée 10 fois et compter le nombre de 'pile' constitue un schéma de Bernoulli. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit alors une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). Cette loi est fondamentale pour analyser des phénomènes aléatoires binaires répétés.
💡 À retenir : X suit une loi binomiale B(n, p) si X compte le nombre de succès en n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
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Formule et calculPour une variable aléatoire X suivant B(n, p), la probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par une formule combinant coefficient binomial et puissances. Le coefficient binomial (k parmi n) se lit 'k parmi n' et se calcule par n!/(k!(n-k)!). Il représente le nombre de chemins menant à k succès dans l'arbre pondéré. Par exemple, pour n=5 et p=0,4, la probabilité d'avoir 3 succès est P(X=3) = 10 × 0,4³ × 0,6² = 0,2304. Cette formule permet de calculer toutes les probabilités individuelles.
💡 À retenir : P(X=k) = (k parmi n) × p^k × (1-p)^(n-k)
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Espérance et varianceL'espérance mathématique E(X) donne le nombre moyen de succès attendus : E(X) = n × p. La variance V(X) mesure la dispersion autour de cette moyenne : V(X) = n × p × (1-p). L'écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance. Ces formules simples permettent de prévoir le comportement moyen sans calculer toutes les probabilités. Par exemple, pour n=50 et p=0,2, on attend en moyenne 10 succès, avec un écart-type d'environ 2,83.
💡 À retenir : E(X)=np, V(X)=np(1-p), σ(X)=√(np(1-p))
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Exemples concretsLa loi binomiale s'applique dans de nombreux domaines : contrôle qualité (nombre de pièces défectueuses dans un lot), médecine (nombre de patients guéris après traitement), sondages (nombre de personnes favorables), ou encore jeux de hasard. L'essentiel est de vérifier les conditions : deux issues, essais indépendants, probabilité constante. Par exemple, un fabricant de composants électroniques sait que 5% sont défectueux. Sur un échantillon de 20 composants, la probabilité d'en avoir exactement 2 défectueux se calcule avec B(20, 0.05).
💡 À retenir : Vérifier les conditions : épreuves identiques et indépendantes, deux issues, succès de probabilité p.