Sinus et cosinus : deux coordonnées sur le cercle

En terminale, on définit le sinus et le cosinus d’un réel x à l’aide du cercle trigonométrique de rayon 1. Le cosinus est l’abscisse du point M associé à l’angle x, le sinus est son ordonnée. Ces fonctions sont 2π-périodiques : pour tout réel x, cos(x+2π)=cos x et sin(x+2π)=sin x. Le cosinus est pair, le sinus est impair. L’identité fondamentale cos²x+sin²x=1 découle directement du théorème de Pythagore.

📢 Rappel

Un angle en radians mesure la longueur de l’arc intercepté sur le cercle trigonométrique.

📖 Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

⭐ À retenir

cos est paire, sin est impaire ; toutes deux sont 2π-périodiques.

💡 À retenir : cos x et sin x sont les coordonnées d’un point sur le cercle de rayon 1.

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Valeurs remarquables et courbes

Tracer les courbes de sinus et cosinus

Les valeurs remarquables se lisent sur le cercle : cos 0=1, sin 0=0 ; cos π/6=√3/2, sin π/6=1/2 ; cos π/4=√2/2, sin π/4=√2/2 ; cos π/3=1/2, sin π/3=√3/2 ; cos π/2=0, sin π/2=1. La courbe de cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, celle de sinus par rapport à l’origine. Les deux oscillent entre -1 et 1, avec une période de 2π. Le déphasage entre les deux courbes est de π/2 : cos x = sin(x+π/2).

🔍 Exemple

La hauteur d’un point sur une roue de vélo qui tourne est modélisée par h(t)=R sin(ωt).

⭐ À retenir

cos x = sin(x+π/2) : la courbe du cosinus est la courbe du sinus décalée de π/2 vers la gauche.

💡 À retenir : Les courbes oscillent entre -1 et 1 avec une période 2π.

🧮

Dérivation et variations

Dériver sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ. Leurs dérivées sont : sin'(x)=cos x et cos'(x)=-sin x. On en déduit les variations sur [0;π] : cosinus décroît de 1 à -1, sinus croît de 0 à 1 puis décroît de 1 à 0. Ces dérivées permettent d’étudier des mouvements oscillants : si x(t)=A sin(ωt+φ), alors la vitesse est x'(t)=Aω cos(ωt+φ).

📢 Rappel

La dérivée d’une composée f(ax+b) est a f'(ax+b).

🔍 Exemple

Pour f(x)=3 sin(2x), f'(x)=6 cos(2x).

⭐ À retenir

Les variations de sin et cos se déduisent du signe de leur dérivée sur une période.

💡 À retenir : La dérivée de sin est cos, la dérivée de cos est -sin.

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Équations et modélisation

Résoudre des équations trigonométriques

Pour résoudre cos x = cos a, on écrit x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ, avec k entier relatif. Pour sin x = sin a, on écrit x = a + 2kπ ou x = π - a + 2kπ. Ces équations modélisent des phénomènes périodiques : marées, courant alternatif, ondes sonores. Par exemple, la hauteur d’eau dans un port peut s’écrire h(t)=3+2 sin(πt/6), où t est en heures.

🔍 Exemple

Résoudre cos x = 1/2 sur [0;2π] donne x=π/3 ou x=5π/3.

⭐ À retenir

Toujours ajouter 2kπ (k∈ℤ) pour donner toutes les solutions réelles.

💡 À retenir : Les solutions s’écrivent à 2kπ près, car les fonctions sont périodiques.

Fiche de révision Exercices

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