Naissance d'une onde stationnaire

Une onde stationnaire résulte de la superposition d'une onde progressive incidente et de l'onde réfléchie à l'extrémité d'un milieu. Lorsque la corde est fixée, l'onde réfléchie revient en sens opposé avec la même fréquence. Leur interférence produit des points fixes appelés nœuds et des maxima appelés ventres. Contrairement à une onde progressive, l'onde stationnaire ne transporte pas d'énergie d'un bout à l'autre : l'énergie reste piégée dans des fuseaux. On l'observe facilement sur une corde de guitare ou un câble tendu.

📢 Rappel

Une onde progressive sinusoïdale est décrite par y(x,t)=A cos(ωt - kx) et transporte de l'énergie.

📖 Définition

Un nœud est un point où l'amplitude de vibration est toujours nulle ; un ventre est un point d'amplitude maximale.

💡 À retenir : Une onde stationnaire naît de la superposition de deux ondes progressives de même fréquence se propageant en sens opposés.

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Nœuds, ventres et fuseaux

Caractéristiques spatiales de l'onde stationnaire

Le long d'une onde stationnaire, les nœuds et les ventres sont régulièrement espacés. Deux nœuds consécutifs sont séparés d'une demi-longueur d'onde λ/2. Un ventre se trouve toujours à mi-distance entre deux nœuds. Chaque portion comprise entre deux nœuds consécutifs vibre en phase et constitue un fuseau de longueur λ/2. La position des nœuds dépend des conditions aux limites, c'est-à-dire des contraintes imposées aux extrémités du milieu.

⭐ À retenir

Nœuds et ventres alternent tous les λ/4 le long du milieu.

🔍 Exemple

Sur une corde de guitare, les nœuds aux extrémités sont imposés par les fixations sur le chevalet et le sillet.

💡 À retenir : La distance entre deux nœuds consécutifs vaut toujours λ/2.

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Corde fixée aux deux extrémités

Modes propres d'une corde vibrante

Pour une corde de longueur L fixée à ses deux extrémités, les extrémités doivent être des nœuds. Cela impose une condition : la longueur L est un multiple entier de la demi-longueur d'onde, soit L = n λ_n/2. On obtient ainsi les fréquences propres f_n = n v/(2L), où v est la célérité des ondes sur la corde et n un entier non nul. Le mode n = 1 est appelé mode fondamental ; les modes n > 1 sont les harmoniques. Chaque mode correspond à un nombre entier de fuseaux.

📖 Définition

La fréquence fondamentale f1 est la plus basse fréquence propre du système.

🔍 Exemple

Une corde de guitare de longueur L et de célérité v produit un son plus aigu si l'on raccourcit L ou si l'on augmente la tension.

💡 À retenir : Les fréquences propres d'une corde fixée aux deux extrémités sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale f1 = v/(2L).

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Fréquence propre et amplitude

La résonance

La résonance se produit lorsqu'un système est excité à une fréquence égale à l'une de ses fréquences propres. Dans ce cas, l'amplitude des oscillations devient très grande, car l'énergie fournie par l'excitateur s'accumule dans le système au lieu d'être dissipée. Une corde tendue entre deux points peut ainsi présenter de grandes amplitudes si on l'excite à une fréquence propre : c'est le principe de la caisse de résonance d'une guitare. Le phénomène peut aussi devenir destructeur, comme lors de l'effondrement du pont de Tacoma en 1940. La courbe d'amplitude en fonction de la fréquence présente un pic au voisinage de chaque fréquence propre.

🔍 Exemple

Un verre en cristal peut se briser si une chanteuse émet un son à sa fréquence propre avec une intensité suffisante.

⭐ À retenir

À la résonance, l'amplitude est maximale mais reste limitée par les pertes d'énergie du système.

💡 À retenir : La résonance apparaît lorsque la fréquence excitatrice coïncide avec une fréquence propre du système.

Fiche de révision Exercices

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