Fonctions trigonométriques : sinus et cosinus
Ce que tu dois retenir
cos x et sin x sont les coordonnées d’un point sur le cercle de rayon 1.
Les courbes oscillent entre -1 et 1 avec une période 2π.
La dérivée de sin est cos, la dérivée de cos est -sin.
Les solutions s’écrivent à 2kπ près, car les fonctions sont périodiques.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Quelle est la période de la fonction cosinus ?
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Réponse : B — 2π
La fonction cosinus est 2π-périodique : cos(x+2π)=cos x pour tout réel x.
2. La fonction sinus est :
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Réponse : B — impaire
Pour tout réel x, sin(-x)=-sin x, donc la fonction sinus est impaire.
3. La valeur exacte de sin(π/3) est :
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Réponse : C — √3/2
Sur le cercle trigonométrique, l’angle π/3 a pour ordonnée √3/2.
4. La dérivée de cos(x) est :
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Réponse : B — -sin(x)
La dérivée de la fonction cosinus est l’opposée de la fonction sinus : cos'(x)=-sin x.
5. L’ensemble des solutions de sin x = 0 sur ℝ est :
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Réponse : B — x=kπ
sin x = 0 lorsque x est un multiple entier de π, donc x=kπ avec k∈ℤ.
6. cos(π/2 - x) est égal à :
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Réponse : C — sin x
C’est une identité trigonométrique classique : cos(π/2 - x)=sin x.
7. Sur [0;π], la fonction cosinus est :
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Réponse : B — décroissante
cos'(x)=-sin x est négative sur ]0;π[, donc cosinus décroît de 1 à -1.
8. Si f(x)=2 sin(5x), alors f'(x) vaut :
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Réponse : B — 10 cos(5x)
En utilisant la dérivée d’une composée : f'(x)=2×5 cos(5x)=10 cos(5x).