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Définition géométriqueLe produit scalaire est un outil qui permet de mesurer l'effet d'un vecteur sur un autre. Si deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) forment un angle \( \theta \), leur produit scalaire est le nombre réel défini par \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta) \). Ce nombre peut être positif, négatif ou nul selon l'angle. Il est utilisé en physique pour calculer le travail d'une force : \( W = \vec{F} \cdot \vec{AB} \). Plus l'angle est proche de 0°, plus le produit scalaire est grand.
📖 Définition
Produit scalaire : nombre réel \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\vec{u},\vec{v}) \).
🔍 Exemple
Une force de 10 N déplace un objet de 3 m dans sa direction : travail = 10 × 3 × cos(0°) = 30 J.
💡 À retenir : Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur : il mesure l'effet mutuel de deux vecteurs.
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Calcul avec coordonnéesDans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule simplement à partir des coordonnées des vecteurs. Si \( \vec{u}(x;y) \) et \( \vec{v}(x';y') \), alors \( \vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' \). Cette formule évite d'avoir à déterminer l'angle entre les vecteurs. Elle permet de vérifier rapidement l'orthogonalité : il suffit que cette somme soit nulle. On l'utilisera dans de nombreux exercices de géométrie analytique.
📢 Rappel
Un repère orthonormé a des axes perpendiculaires et une unité identique sur les deux axes.
💡 À retenir : La formule analytique \( x x' + y y' \) rend le produit scalaire très rapide à calculer.
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Règles de calculLe produit scalaire possède des propriétés qui simplifient les calculs. Il est symétrique : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \). Il est bilinéaire : on peut développer \( (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} \). Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même donne le carré de sa norme : \( \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \). Enfin, deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
⭐ À retenir
\( \vec{u} \perp \vec{v} \) si et seulement si \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \).
📢 Rappel
Le carré scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{u} \) se note aussi \( \|\vec{u}\|^2 \) et est toujours positif.
💡 À retenir : Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité de deux vecteurs non nuls.
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Angles, droites et projectionsLe produit scalaire permet de calculer l'angle entre deux vecteurs : \( \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \). Il donne aussi l'équation d'une droite : si \( \vec{n}(a;b) \) est un vecteur normal, la droite a une équation de la forme \( ax + by + c = 0 \). Enfin, il intervient dans les projections orthogonales et dans des théorèmes comme celui d'Al-Kashi. Ces applications relient l'algèbre et la géométrie.
🔍 Exemple
La droite d'équation \( 2x - 3y + 5 = 0 \) admet \( \vec{n}(2;-3) \) comme vecteur normal.
💡 À retenir : Un vecteur normal à une droite fournit directement les coefficients \( a \) et \( b \) de son équation cartésienne.