Selon la légende, Thalès mesura la hauteur de la pyramide de Khéops en comparant l'ombre d'un bâton à celle de la pyramide. Les rayons du soleil étant parallèles, les triangles formés sont proportionnels. Cette idée simple est à la base du théorème : dans une configuration avec deux droites sécantes et deux droites parallèles, les longueurs des côtés sont proportionnelles. On peut ainsi calculer une hauteur inaccessible.
📢 Rappel
Deux droites parallèles ne se coupent jamais. Deux droites sécantes se coupent en un point.
💡 À retenir : Des droites parallèles créent des triangles aux côtés proportionnels.
Complète la phrase
Un bâton de 2 m a une ombre de 3 m. Un arbre a une ombre de 15 m. Par proportionnalité, la hauteur de l'arbre est m.
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La configuration de Thalès
Le théorème : des rapports égaux
On considère deux droites sécantes en A, avec M et B sur l'une, N et C sur l'autre. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles. Cela se traduit par l'égalité des trois rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Ce théorème permet de calculer une longueur inconnue dans cette configuration.
📖 Définition
Configuration de Thalès : deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles, formant deux triangles aux côtés proportionnels.
⭐ À retenir
Si (MN)//(BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
💡 À retenir : Dans une configuration de Thalès, les longueurs des côtés sont proportionnelles.
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Calculer une longueur
Appliquer le théorème de Thalès
Prenons un exemple : dans un triangle ABC, M est sur [AB], N sur [AC] et (MN)//(BC). On donne AB = 8 cm, AM = 3 cm, AN = 4 cm, BC = 10 cm. On écrit les rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC. On remplace : 3/8 = 4/AC = MN/10. Pour trouver AC, on résout 3/8 = 4/AC, donc AC = (4×8)÷3 ≈ 10,7 cm. Pour MN, 3/8 = MN/10, donc MN = (3×10)÷8 = 3,75 cm.
🔍 Exemple
Avec AM=3, AB=8, AN=4, on trouve AC = (4×8)÷3 ≈ 10,7 cm.
💡 À retenir : On remplace les longueurs connues dans l'égalité des rapports, puis on utilise le produit en croix.
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Prouver le parallélisme
La réciproque du théorème
La réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Attention : l'ordre des points est essentiel. On vérifie d'abord l'alignement, puis l'égalité des rapports.
⭐ À retenir
Si A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et AM/AB = AN/AC, alors (MN)//(BC).
💡 À retenir : Pour prouver que deux droites sont parallèles, on vérifie l'égalité des rapports AM/AB et AN/AC.