Mathématiques · 4e

Théorème de Thalès

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — À quoi sert le théorème de Thalès ?

Des droites parallèles créent des triangles aux côtés proportionnels.

Chapitre 2 — Le théorème : des rapports égaux

Dans une configuration de Thalès, les longueurs des côtés sont proportionnelles.

Chapitre 3 — Appliquer le théorème de Thalès

On remplace les longueurs connues dans l'égalité des rapports, puis on utilise le produit en croix.

Chapitre 4 — La réciproque du théorème

Pour prouver que deux droites sont parallèles, on vérifie l'égalité des rapports AM/AB et AN/AC.

Teste-toi

1. Dans la configuration de Thalès, si (MN)//(BC), quel rapport est correct ?

AA. AM/AB = AN/AC
BB. AM/AB = AC/AN
CC. AB/AM = AN/AC
DD. AM/MB = AN/NC
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Réponse : A — A. AM/AB = AN/AC

Le théorème de Thalès énonce que AM/AB = AN/AC = MN/BC. La réponse D est aussi vraie (conséquence), mais la formulation classique est A.

2. Quelle condition est indispensable pour appliquer le théorème de Thalès ?

AA. Les droites (MN) et (BC) sont perpendiculaires
BB. Les points A, M, B sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles
CC. Les triangles sont isocèles
DD. Les longueurs AB et AC sont égales
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Réponse : B — B. Les points A, M, B sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles

Il faut deux droites sécantes et deux droites parallèles, avec des points alignés sur les sécantes.

3. Dans un triangle ABC, M sur [AB], N sur [AC] et (MN)//(BC). Si AM=4, AB=10, AN=6, que vaut AC ?

AA. 12
BB. 15
CC. 8
DD. 20
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Réponse : B — B. 15

AM/AB = AN/AC → 4/10 = 6/AC → AC = (6×10)/4 = 15.

4. Quelle égalité permet de calculer MN si on connaît AM, AB et BC ?

AA. MN = (AM × BC) ÷ AB
BB. MN = (AB × BC) ÷ AM
CC. MN = AM + BC - AB
DD. MN = AM × AB ÷ BC
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Réponse : A — A. MN = (AM × BC) ÷ AB

D'après AM/AB = MN/BC, on a MN = (AM × BC) ÷ AB.

5. Pour utiliser la réciproque du théorème de Thalès, que doit-on vérifier en premier ?

AA. Que les droites sont parallèles
BB. Que les points sont alignés dans le même ordre
CC. Que les triangles sont rectangles
DD. Que les rapports sont supérieurs à 1
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Réponse : B — B. Que les points sont alignés dans le même ordre

La réciproque exige que les points A, M, B et A, N, C soient alignés dans le même ordre, puis on compare les rapports.

6. Si AM/AB = 0,4 et AN/AC = 0,4, que peut-on conclure ?

AA. (MN) et (BC) sont sécantes
BB. (MN) et (BC) sont parallèles
CC. Les points ne sont pas alignés
DD. Le triangle est isocèle
Voir la réponse

Réponse : B — B. (MN) et (BC) sont parallèles

Si les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre, la réciproque permet d'affirmer que (MN)//(BC).

7. Dans la configuration de Thalès, que représente le rapport AM/AB ?

AA. Le coefficient de proportionnalité entre les longueurs des deux triangles
BB. La différence entre AM et AB
CC. L'aire du petit triangle sur l'aire du grand
DD. Le périmètre du petit triangle
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Réponse : A — A. Le coefficient de proportionnalité entre les longueurs des deux triangles

Le rapport AM/AB (ou AN/AC, MN/BC) est le coefficient d'agrandissement/réduction entre les triangles AMN et ABC.

8. On a AM=2, AB=5, AN=3, AC=7,5. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

AA. Oui, car 2/5 = 3/7,5
BB. Non, car 2/5 ≠ 3/7,5
CC. Oui, car les points sont alignés
DD. On ne peut pas savoir
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Réponse : A — A. Oui, car 2/5 = 3/7,5

2/5 = 0,4 et 3/7,5 = 0,4. Les rapports sont égaux, donc d'après la réciproque, (MN)//(BC).

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