Une puissance est une façon d'écrire une multiplication répétée d'un même nombre. Par exemple, 3⁴ (lire « 3 exposant 4 ») signifie 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Le nombre 3 est la base, 4 est l'exposant. On utilise les puissances pour simplifier l'écriture de grands nombres ou de petits nombres. Par convention, a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a ≠ 0).
📖 Définition
Base : le nombre que l'on multiplie. Exposant : le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même.
📢 Rappel
La multiplication est une addition répétée ; la puissance est une multiplication répétée.
💡 À retenir : Une puissance est une multiplication répétée : aⁿ = a × a × ... × a (n fois).
Complète la phrase
Calcule 2⁵ : 2⁵ =
🔟
Les puissances de 10
Puissances de 10 et exposants négatifs
Les puissances de 10 sont très utiles pour écrire des grands ou petits nombres. 10ⁿ (n positif) s'écrit avec un 1 suivi de n zéros : 10³ = 1000. Pour les exposants négatifs, 10⁻ⁿ = 1 / 10ⁿ = 0,0...01 avec n chiffres après la virgule. Exemple : 10⁻² = 0,01. Cela permet de manipuler facilement les ordres de grandeur.
⭐ À retenir
10⁰ = 1. Tout nombre à la puissance 0 vaut 1 (sauf 0⁰).
🔍 Exemple
10⁶ = 1 000 000 (un million) ; 10⁻⁶ = 0,000 001 (un millionième).
💡 À retenir : 10ⁿ décale la virgule vers la droite, 10⁻ⁿ vers la gauche.
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Notation scientifique
Écrire très grand ou très petit
La notation scientifique permet d'écrire un nombre sous la forme a × 10ⁿ, où a est un nombre décimal avec un seul chiffre non nul avant la virgule (1 ≤ a < 10) et n est un entier relatif. Par exemple, la distance Terre-Soleil : 150 000 000 km = 1,5 × 10⁸ km. La taille d'une cellule : 0,000 002 m = 2 × 10⁻⁶ m. Pour trouver a, on déplace la virgule jusqu'à obtenir un nombre entre 1 et 10, puis on compte le nombre de déplacements pour déterminer n.
📖 Définition
Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
🔍 Exemple
0,000 45 = 4,5 × 10⁻⁴ car on décale la virgule de 4 rangs vers la droite.
💡 À retenir : Un seul chiffre non nul avant la virgule, compris entre 1 et 9,999...
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Opérations sur les puissances
Multiplier et diviser des puissances
Pour multiplier deux puissances d'une même base, on additionne les exposants : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Pour diviser, on soustrait les exposants : aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants : (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ. Ces règles fonctionnent aussi avec les exposants négatifs. Exemple : 10³ × 10⁻² = 10³⁺⁽⁻²⁾ = 10¹ = 10.
⭐ À retenir
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ.
🔍 Exemple
2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128.
💡 À retenir : On additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient.