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De la loi binomiale à l'échantillonnageOn considère une population où un caractère est présent avec une proportion p. On prélève un échantillon de taille n et on note X le nombre d'individus possédant ce caractère. X suit la loi binomiale B(n,p) et la fréquence observée est f = X/n. D'un échantillon à l'autre, f varie autour de p : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Pour prendre une décision, on construit un intervalle contenant f avec une probabilité de 95 %.
📢 Rappel
Si X suit B(n,p), alors E(X)=np et V(X)=np(1-p).
📖 Définition
La fluctuation d'échantillonnage est la variation naturelle de la fréquence observée d'un échantillon à l'autre.
💡 À retenir : La fréquence observée f fluctue autour de la proportion théorique p.
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Un outil de décisionSous les conditions n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5, on utilise l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Il est centré sur p et son amplitude diminue quand n augmente. Cet intervalle contient la fréquence observée f avec une probabilité d'environ 0,95. En pratique, on remplace souvent 1,96 par 2 pour obtenir un intervalle simplifié [p - 1/√n ; p + 1/√n].
⭐ À retenir
Conditions d'utilisation : n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5.
🔍 Exemple
Pour p=0,4 et n=100, l'intervalle est environ [0,30 ; 0,50].
💡 À retenir : L'intervalle de fluctuation permet de juger si un échantillon est compatible avec une proportion p.
⚖️
Accepter ou rejeter une hypothèseOn formule une hypothèse sur la proportion p, par exemple p=0,60. On calcule l'intervalle de fluctuation à 95 % autour de cette valeur. Si la fréquence observée f appartient à l'intervalle, on accepte l'hypothèse au risque 5 %. Si f est à l'extérieur, on rejette l'hypothèse car l'écart est significatif. Exemple : pour n=200 et p=0,60, l'intervalle simplifié est [0,53 ; 0,67] ; une fréquence observée de 0,52 conduit au rejet.
🔍 Exemple
Un sondage donne f=0,52 alors que p=0,60 : l'écart est significatif, on rejette p=0,60.
⭐ À retenir
Le risque de 5 % correspond à la probabilité de rejeter à tort une hypothèse vraie.
💡 À retenir : Sortir de l'intervalle signifie que l'écart entre f et p est peu probable au seuil de 5 %.
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Estimer une proportion inconnueLorsque la proportion p est inconnue, on l'estime à partir de la fréquence observée f sur un échantillon de taille n. L'intervalle de confiance au niveau 0,95 est [f - 1/√n ; f + 1/√n]. Il contient la vraie proportion p avec une probabilité d'environ 0,95. Les conditions d'utilisation sont n≥30, nf≥5 et n(1-f)≥5. Exemple : pour n=1000 et f=0,54, l'intervalle est [0,508 ; 0,572].
📖 Définition
Un intervalle de confiance au niveau 95 % contient la vraie proportion p avec une probabilité d'environ 0,95.
⭐ À retenir
L'amplitude de l'intervalle de confiance est 2/√n ; elle diminue quand n augmente.
💡 À retenir : L'intervalle de confiance estime p à partir de la fréquence observée f.