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Comprendre la variabilité des échantillonsLorsqu'on prélève un échantillon aléatoire de taille n dans une population où la proportion d'un caractère est p, la fréquence f observée varie d'un échantillon à l'autre. Cette variabilité s'appelle la fluctuation d'échantillonnage. Pour n assez grand (n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5), la distribution de f se rapproche d'une loi normale. On peut alors prévoir, avec une probabilité de 95%, dans quelle zone f va se trouver. Cette zone est l'intervalle de fluctuation. Il sert de référence pour décider si un résultat est compatible avec la valeur p supposée.
📢 Rappel
Un échantillon aléatoire simple est obtenu par tirage au sort, chaque individu ayant la même probabilité d'être choisi.
📖 Définition
La fluctuation d'échantillonnage est l'écart aléatoire entre la fréquence observée f et la proportion p dans la population.
🔍 Exemple
Si p=0,5 et n=100, f peut valoir 0,48 dans un échantillon et 0,54 dans un autre, sans que cela remette en cause p.
💡 À retenir : La fréquence observée f fluctue autour de la proportion théorique p.
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Encadrer la fréquence attendueSous l'hypothèse que la proportion dans la population est p, pour un échantillon de taille n, la fréquence f a 95% de chances d'appartenir à l'intervalle de fluctuation asymptotique. On utilise la loi normale centrée réduite : 95% des valeurs sont entre -1,96 et 1,96. On obtient alors les bornes ci-dessous. Si f sort de cet intervalle, on considère que l'écart avec p est trop grand pour être dû au hasard (au risque 5%).
⭐ À retenir
Conditions d'utilisation : n≥30, np≥5 et n(1-p)≥5.
🔍 Exemple
Pour p=0,3 et n=100, l'intervalle est environ [0,21 ; 0,39].
💡 À retenir : C'est l'outil de base pour prendre une décision statistique.
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Estimer une proportion inconnueLorsqu'on ne connaît pas p mais qu'on dispose d'une fréquence observée f sur un échantillon de taille n, on peut estimer p par un intervalle de confiance. Au niveau de confiance 95%, on utilise la formule simplifiée avec une marge d'erreur de 1/√n. Cela signifie que si on répétait l'expérience un grand nombre de fois, environ 95% des intervalles construits contiendraient la vraie proportion p. Plus n est grand, plus l'intervalle est étroit, donc plus l'estimation est précise.
📖 Définition
Le niveau de confiance 95% indique la fiabilité de la méthode, pas la probabilité que p soit dans un intervalle donné.
⭐ À retenir
Marge d'erreur : 1/√n ; amplitude de l'intervalle : 2/√n.
🔍 Exemple
Sur 400 personnes, 220 sont favorables : f=0,55, donc IC = [0,55 - 1/20 ; 0,55 + 1/20] = [0,50 ; 0,60].
💡 À retenir : L'intervalle de confiance estime p à partir de f.
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Prendre une décision statistiqueUn test d'hypothèse confronte une hypothèse nulle H0 (par exemple p=0,5) aux données observées. On construit l'intervalle de fluctuation sous H0 au risque 5%. Si la fréquence observée f appartient à cet intervalle, on ne rejette pas H0 : l'écart est compatible avec le hasard. Si f est en dehors, on rejette H0 : l'écart est statistiquement significatif. Le risque de rejeter H0 à tort s'appelle le risque de première espèce, noté α, ici α=0,05.
📢 Rappel
L'hypothèse nulle H0 est l'hypothèse de référence que l'on cherche à tester.
⭐ À retenir
Règle de décision : si f ∈ intervalle de fluctuation, on ne rejette pas H0 ; sinon on rejette H0 au risque 5%.
🔍 Exemple
H0:p=0,5, n=400, intervalle [0,451 ; 0,549]. Si f=0,58, on rejette H0.
💡 À retenir : Rejeter H0, c'est conclure que l'écart observé n'est probablement pas dû au hasard.