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Statistiques inférentielles : intervalles de confiance et tests d'hypothèses

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Fluctuation d'échantillonnage

La fréquence observée f fluctue autour de la proportion théorique p.

Chapitre 2 — Intervalle de fluctuation asymptotique à 95%

C'est l'outil de base pour prendre une décision statistique.

Chapitre 3 — Intervalle de confiance à 95%

L'intervalle de confiance estime p à partir de f.

Chapitre 4 — Tests d'hypothèses et prise de décision

Rejeter H0, c'est conclure que l'écart observé n'est probablement pas dû au hasard.

Teste-toi

1. Qu'est-ce que la fluctuation d'échantillonnage ?

AA. La variation systématique de p selon les échantillons
BB. La variation aléatoire de la fréquence f d'un échantillon à l'autre
CC. L'erreur due à un mauvais tirage au sort
DD. La différence entre deux proportions p1 et p2
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Réponse : B — B. La variation aléatoire de la fréquence f d'un échantillon à l'autre

La fréquence f varie d'un échantillon à l'autre autour de p, c'est la fluctuation d'échantillonnage.

2. Pour p=0,4 et n=100, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% est environ :

AA. [0,30 ; 0,50]
BB. [0,35 ; 0,45]
CC. [0,20 ; 0,60]
DD. [0,38 ; 0,42]
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Réponse : A — A. [0,30 ; 0,50]

p ± 1,96√(p(1-p)/n) = 0,4 ± 1,96×0,049 ≈ 0,4 ± 0,096, soit [0,304 ; 0,496], arrondi à [0,30 ; 0,50].

3. L'amplitude de l'intervalle de confiance à 95% pour une proportion est :

AA. 1/√n
BB. 2/√n
CC. 1,96/√n
DD. 2×1,96/√n
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Réponse : B — B. 2/√n

L'intervalle est [f - 1/√n ; f + 1/√n], donc son amplitude est 2/√n.

4. Un sondage sur 500 personnes donne f=0,62. L'intervalle de confiance à 95% pour p est environ :

AA. [0,60 ; 0,64]
BB. [0,58 ; 0,66]
CC. [0,575 ; 0,665]
DD. [0,61 ; 0,63]
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Réponse : C — C. [0,575 ; 0,665]

1/√500 ≈ 0,0447, donc IC = [0,62 - 0,0447 ; 0,62 + 0,0447] ≈ [0,575 ; 0,665].

5. Dans un test d'hypothèse au risque 5%, on rejette H0 lorsque :

AA. f est proche de p
BB. f appartient à l'intervalle de fluctuation
CC. f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation
DD. n est supérieur à 30
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Réponse : C — C. f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation

Si f sort de l'intervalle de fluctuation, l'écart avec p est jugé trop grand pour être dû au hasard, donc on rejette H0.

6. Le risque de première espèce α correspond à :

AA. la probabilité de ne pas rejeter H0 alors qu'elle est fausse
BB. la probabilité de rejeter H0 alors qu'elle est vraie
CC. la probabilité que p soit dans l'intervalle de confiance
DD. la marge d'erreur de l'intervalle
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Réponse : B — B. la probabilité de rejeter H0 alors qu'elle est vraie

α est la probabilité de rejeter à tort H0, c'est-à-dire alors qu'elle est vraie.

7. Si la taille n de l'échantillon augmente, l'intervalle de confiance à 95% :

AA. devient plus large
BB. devient plus étroit
CC. ne change pas
DD. se déplace vers la droite
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Réponse : B — B. devient plus étroit

La marge d'erreur 1/√n diminue quand n augmente, donc l'intervalle est plus étroit.

8. On teste H0:p=0,5 avec n=400. L'intervalle de fluctuation à 95% est [0,451 ; 0,549]. On observe f=0,58. Conclusion ?

AA. On ne rejette pas H0 car 0,58 > 0,5
BB. On ne rejette pas H0 car n=400 est grand
CC. On rejette H0 car 0,58 est en dehors de l'intervalle
DD. On rejette H0 car 0,58 est dans l'intervalle
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Réponse : C — C. On rejette H0 car 0,58 est en dehors de l'intervalle

0,58 > 0,549, donc f est en dehors de l'intervalle de fluctuation ; on rejette H0 au risque 5%.

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