📘
IntroductionUne équation différentielle est une équation qui relie une fonction inconnue et ses dérivées. En terminale, on étudie les équations du premier ordre, c'est-à-dire faisant intervenir la fonction et sa dérivée première. Elles modélisent de nombreux phénomènes d'évolution : croissance d'une population, désintégration radioactive, refroidissement d'un corps. Résoudre une telle équation, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient sur un intervalle donné.
📖 Définition
Une équation différentielle du premier ordre est de la forme y' = f(x, y), où y est une fonction inconnue de la variable x.
🔍 Exemple
La loi de désintégration radioactive : N'(t) = -λ N(t) est une équation différentielle du premier ordre.
💡 À retenir : Une équation différentielle du premier ordre lie une fonction et sa dérivée première.
🧮
Résolution de y' = ayL'équation différentielle la plus simple est y' = a y, où a est une constante réelle. Ses solutions sont les fonctions définies sur ℝ par y(x) = C e^{ax}, avec C une constante réelle quelconque. Pour déterminer C, on utilise une condition initiale, par exemple y(0) = y₀, ce qui donne C = y₀. Ce modèle décrit une croissance exponentielle si a > 0, ou une décroissance exponentielle si a < 0.
📢 Rappel
La dérivée de e^{ax} est a e^{ax}, ce qui permet de vérifier que y = C e^{ax} satisfait y' = a y.
⭐ À retenir
La solution générale de y' = a y est y(x) = C e^{ax}. La constante C est fixée par une condition initiale.
💡 À retenir : Toute solution de y' = a y s'écrit y(x) = C e^{ax}, avec C ∈ ℝ.
➕
Avec second membre constantOn considère maintenant y' = a y + b, où a et b sont des constantes, a ≠ 0. On cherche d'abord une solution particulière constante yₚ telle que yₚ' = 0, ce qui donne a yₚ + b = 0, donc yₚ = -b/a. La solution générale est alors la somme de la solution homogène (C e^{ax}) et de cette solution particulière : y(x) = C e^{ax} - b/a. La constante C est déterminée par une condition initiale.
📢 Rappel
La solution de l'équation homogène associée y' = a y est y_h(x) = C e^{ax}.
⭐ À retenir
On ajoute à la solution homogène une solution particulière constante -b/a.
💡 À retenir : La solution générale de y' = a y + b est y(x) = C e^{ax} - b/a.
☕
ModélisationLa loi de Newton modélise le refroidissement d'un corps : la vitesse de variation de sa température T(t) est proportionnelle à la différence entre T(t) et la température ambiante Tₐ. Cela donne l'équation différentielle T' = -k (T - Tₐ), soit T' = -k T + k Tₐ, de la forme y' = a y + b. La solution est T(t) = Tₐ + (T₀ - Tₐ) e^{-kt}, où T₀ est la température initiale. La température tend vers Tₐ quand t devient grand.
🔍 Exemple
Un café à 80°C dans une pièce à 20°C refroidit selon T(t) = 20 + 60 e^{-kt}. Après longtemps, il atteint 20°C.
⭐ À retenir
Dans les modèles y' = a y + b, la solution tend vers la solution particulière constante si a < 0.
💡 À retenir : La température d'un corps se rapproche exponentiellement de la température ambiante.