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Équations différentielles du premier ordre

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle du premier ordre lie une fonction et sa dérivée première.

Chapitre 2 — Les solutions de y' = a y

Toute solution de y' = a y s'écrit y(x) = C e^{ax}, avec C ∈ ℝ.

Chapitre 3 — Équation y' = a y + b

La solution générale de y' = a y + b est y(x) = C e^{ax} - b/a.

Chapitre 4 — Application : refroidissement d'un café

La température d'un corps se rapproche exponentiellement de la température ambiante.

Teste-toi

1. Qu'est-ce qu'une équation différentielle du premier ordre ?

AA. Une équation contenant une fonction et sa dérivée première.
BB. Une équation avec des dérivées secondes.
CC. Une équation polynomiale de degré 1.
DD. Une équation intégrale.
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Réponse : A — A. Une équation contenant une fonction et sa dérivée première.

Une équation différentielle du premier ordre fait intervenir la fonction inconnue et sa dérivée première, comme y' = f(x, y).

2. La solution générale de y' = 5y est :

AA. y = C e^{5x}
BB. y = 5e^{x} + C
CC. y = e^{5x} + C
DD. y = C e^{x}
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Réponse : A — A. y = C e^{5x}

D'après le cours, les solutions de y' = a y sont y = C e^{ax}. Ici a = 5, donc y = C e^{5x}.

3. La solution de y' = -3y vérifiant y(0) = 2 est :

AA. y = 2e^{-3x}
BB. y = -3e^{2x}
CC. y = e^{-3x} + 2
DD. y = 2e^{3x}
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Réponse : A — A. y = 2e^{-3x}

Solution générale : y = C e^{-3x}. Avec y(0)=2, on a C = 2, donc y = 2e^{-3x}.

4. Pour résoudre y' = 4y + 8, on cherche une solution particulière constante. Laquelle ?

AA. y = -2
BB. y = 2
CC. y = -4
DD. y = 4
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Réponse : A — A. y = -2

On pose y' = 0, donc 4y + 8 = 0, soit y = -2. C'est la solution particulière constante.

5. La solution générale de y' = -y + 3 est :

AA. y = C e^{-x} + 3
BB. y = C e^{x} - 3
CC. y = C e^{-x} - 3
DD. y = C e^{x} + 3
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Réponse : A — A. y = C e^{-x} + 3

a = -1, b = 3. Solution homogène : C e^{-x}. Solution particulière : -b/a = -3/(-1) = 3. Donc y = C e^{-x} + 3.

6. Dans le modèle de refroidissement T' = -0,1(T - 20), la température ambiante est :

AA. 20°C
BB. 0,1°C
CC. -0,1°C
DD. 10°C
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Réponse : A — A. 20°C

L'équation s'écrit T' = -0,1 T + 2. La température ambiante Tₐ vérifie -0,1(Tₐ - 20)=0, donc Tₐ = 20°C.

7. La solution de y' = 2y - 4 avec y(0) = 3 est :

AA. y = e^{2x} + 2
BB. y = 2e^{2x} + 1
CC. y = e^{2x} + 3
DD. y = 3e^{2x} - 1
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Réponse : A — A. y = e^{2x} + 2

Solution homogène : C e^{2x}. Solution particulière : -(-4)/2 = 2. y = C e^{2x} + 2. y(0)=C+2=3 ⇒ C=1. Donc y = e^{2x} + 2.

8. Une équation différentielle y' = a y + b avec a ≠ 0 admet pour solution particulière constante :

AA. -b/a
BB. b/a
CC. a/b
DD. -a/b
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Réponse : A — A. -b/a

En posant y' = 0, on obtient a y + b = 0, donc y = -b/a.

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