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IntroductionImaginez une population de bactéries qui double toutes les heures. Au début, 1 bactérie, puis 2, 4, 8, 16... Cette explosion est typique d'une croissance exponentielle. En mathématiques, la fonction exponentielle modélise ces phénomènes où la vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité présente. On la retrouve en physique, en économie (intérêts composés continus) ou en biologie. La fonction exponentielle de base e est l'outil central pour décrire ces évolutions.
💡 À retenir : La fonction exponentielle modélise les croissances proportionnelles à la valeur instantanée.
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Définition et propriétésLa fonction exponentielle, notée exp(x) ou e^x, est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que sa dérivée est elle-même et qui vaut 1 en 0. On a donc exp(0)=1 et exp(1)=e≈2,718. Elle vérifie la relation fonctionnelle : e^{a+b}=e^a e^b, et e^{-x}=1/e^x. Elle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ. Ces propriétés en font une fonction fondamentale en analyse.
💡 À retenir : exp est l'unique fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0.
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Dérivée et variationsLa dérivée de e^x est elle-même : (e^x)' = e^x. Comme e^x > 0 pour tout x, la fonction est strictement croissante sur ℝ. Ses limites sont : lim_{x→-∞} e^x = 0 et lim_{x→+∞} e^x = +∞. Plus généralement, pour une fonction u dérivable, (e^u)' = u' e^u. Par exemple, si f(x)=e^{2x}, alors f'(x)=2e^{2x}.
💡 À retenir : La fonction exponentielle croît plus vite que toute puissance de x.
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Applications concrètesL'exponentielle permet de modéliser des situations réelles : croissance d'une population, désintégration radioactive, ou intérêts bancaires continus. Pour résoudre une équation comme e^{2x}=5, on utilise le logarithme népérien, fonction réciproque : x = (1/2) ln(5). On peut aussi simplifier des expressions : e^{3x} × e^{-x} = e^{2x}. La fonction exponentielle transforme les produits en sommes et facilite les calculs de croissance.
💡 À retenir : L'exponentielle et le logarithme népérien sont réciproques : y = e^x ⇔ x = ln(y).