Fonction exponentielle
Ce que tu dois retenir
La fonction exponentielle modélise les croissances proportionnelles à la valeur instantanée.
exp est l'unique fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0.
La fonction exponentielle croît plus vite que toute puissance de x.
L'exponentielle et le logarithme népérien sont réciproques : y = e^x ⇔ x = ln(y).
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Quelle est la valeur de e^0 ?
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Réponse : B — 1
Par définition, la fonction exponentielle vérifie f(0)=1, donc e^0=1.
2. Quelle relation est vraie pour tous réels a et b ?
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Réponse : B — e^{a+b} = e^a e^b
La relation fonctionnelle de l'exponentielle est e^{a+b}=e^a e^b.
3. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=e^x ?
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Réponse : B — e^x
La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (e^x)' = e^x.
4. Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers -∞ ?
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Réponse : B — 0
lim_{x→-∞} e^x = 0, l'axe des abscisses est asymptote horizontale.
5. Si f(x)=e^{3x}, alors f'(x) est :
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Réponse : A — 3e^{3x}
On applique (e^u)' = u' e^u avec u=3x, u'=3, donc f'(x)=3e^{3x}.
6. Résous e^{2x} = e^5.
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Réponse : A — x = 5/2
Si e^A = e^B alors A=B, donc 2x=5, x=5/2.
7. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?
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Réponse : C — e^x > 0 pour tout réel x
L'exponentielle est strictement positive sur ℝ, donc e^x > 0.
8. La dérivée de f(x)=e^{-x} est :
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Réponse : B — -e^{-x}
u=-x, u'=-1, donc f'(x) = -1 * e^{-x} = -e^{-x}.