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Du carré d'une sommeL'identité remarquable (a+b)² se développe en a² + 2ab + b². Imagine un carré de côté (x+3) : son aire est (x+3)², que l'on peut découper en un carré de côté x, deux rectangles de dimensions x et 3, et un petit carré de côté 3. On obtient x² + 6x + 9. Le terme 2ab, ici 6x, est souvent oublié, alors qu'il est essentiel.
📖 Définition
Identité remarquable : égalité toujours vraie quelles que soient les valeurs des lettres.
🔍 Exemple
Pour (x+5)², on obtient x² + 10x + 25.
⭐ À retenir
Ne pas oublier le terme 2ab.
💡 À retenir : Le double produit 2ab est la clé de cette identité.
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Carré d'une différence et produit somme-différenceDeux autres identités sont à connaître : (a-b)² = a² - 2ab + b² et (a+b)(a-b) = a² - b². Pour (2x-3)², on obtient 4x² - 12x + 9. Pour (x+4)(x-4), on obtient x² - 16. Attention au signe dans le carré d'une différence : le double produit est négatif. La troisième identité ne contient pas de terme en ab.
📢 Rappel
Le carré d'un nombre négatif est positif : (-3)² = 9.
🔍 Exemple
(3x-1)² = 9x² - 6x + 1.
⭐ À retenir
(a+b)(a-b) = a² - b², pas de terme en ab.
💡 À retenir : Dans (a-b)², le double produit est négatif ; (a+b)(a-b) supprime le terme en ab.
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Repérer le facteur communFactoriser, c'est transformer une somme en produit. On cherche d'abord un facteur commun : ka + kb = k(a+b). Par exemple, 3x² + 6x = 3x(x+2). Parfois, le facteur commun est une expression entre parenthèses : (x+1)(2x+3) + (x+1)(x-5) = (x+1)[(2x+3)+(x-5)] = (x+1)(3x-2).
📖 Définition
Factoriser : écrire une expression sous forme d'un produit de facteurs.
🔍 Exemple
5x² - 15x = 5x(x - 3).
⭐ À retenir
On factorise d'abord par un facteur commun s'il y en a un.
💡 À retenir : Toujours chercher un facteur commun avant d'utiliser une identité.
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Reconnaître a² - b² ou un carré parfaitOn peut aussi factoriser en utilisant les identités remarquables à l'envers. Pour a² - b², on obtient (a-b)(a+b). Exemple : 9x² - 25 = (3x)² - 5² = (3x-5)(3x+5). Pour un carré parfait comme x² + 10x + 25, on reconnaît (x+5)². Vérifie toujours que l'expression correspond exactement à une identité avant de factoriser.
📢 Rappel
a² - b² = (a-b)(a+b).
🔍 Exemple
16x² - 49 = (4x-7)(4x+7).
⭐ À retenir
On factorise d'abord par un facteur commun, puis on utilise les identités si nécessaire.
💡 À retenir : Reconnaître la forme a² - b² ou a² ± 2ab + b² est essentiel pour factoriser rapidement.