Mathématiques · 3e

Calcul littéral : identités remarquables et factorisation

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Développer (a+b)²

Le double produit 2ab est la clé de cette identité.

Chapitre 2 — Les deux autres identités

Dans (a-b)², le double produit est négatif ; (a+b)(a-b) supprime le terme en ab.

Chapitre 3 — Factorisation : facteur commun

Toujours chercher un facteur commun avant d'utiliser une identité.

Chapitre 4 — Factoriser avec les identités

Reconnaître la forme a² - b² ou a² ± 2ab + b² est essentiel pour factoriser rapidement.

Teste-toi

1. Quel est le développement de (x+4)² ?

AA. x² + 8x + 16
BB. x² + 16
CC. x² + 4x + 16
DD. x² + 8x + 8
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Réponse : A — A. x² + 8x + 16

(x+4)² = x² + 2×x×4 + 4² = x² + 8x + 16. Le double produit 8x est indispensable.

2. (3x-2)² est égal à :

AA. 9x² - 4
BB. 9x² - 12x + 4
CC. 9x² + 12x + 4
DD. 3x² - 12x + 4
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Réponse : B — B. 9x² - 12x + 4

(3x)² = 9x², 2×3x×(-2) = -12x, (-2)² = 4. On obtient 9x² - 12x + 4.

3. (2x+5)(2x-5) se développe en :

AA. 4x² - 25
BB. 4x² + 25
CC. 4x² - 20x - 25
DD. 2x² - 25
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Réponse : A — A. 4x² - 25

C'est l'identité (a+b)(a-b) = a² - b² avec a=2x, b=5. Donc 4x² - 25.

4. L'expression 6x² - 9x factorisée donne :

AA. 3x(2x - 3)
BB. 3(2x² - 3x)
CC. x(6x - 9)
DD. 3x(2x - 9)
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Réponse : A — A. 3x(2x - 3)

Le facteur commun est 3x. 6x² ÷ 3x = 2x, -9x ÷ 3x = -3. On obtient 3x(2x - 3).

5. Pour factoriser (x+2)(3x-1) + (x+2)(x+4), on repère le facteur commun :

AA. (x+2)
BB. (3x-1)
CC. (x+4)
DD. 2
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Réponse : A — A. (x+2)

(x+2) apparaît dans les deux termes, c'est le facteur commun.

6. Quelle est la forme factorisée de 25x² - 16 ?

AA. (5x-4)²
BB. (5x+4)(5x-4)
CC. (25x-4)(x+4)
DD. (5x-4)(5x-4)
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Réponse : B — B. (5x+4)(5x-4)

25x² - 16 = (5x)² - 4² = (5x-4)(5x+4).

7. L'expression x² + 6x + 9 peut s'écrire :

AA. (x+3)²
BB. (x-3)²
CC. (x+9)²
DD. (x+3)(x-3)
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Réponse : A — A. (x+3)²

x² + 2×x×3 + 3² = (x+3)².

8. Quelle est la première étape pour factoriser 2x² - 8 ?

AA. Utiliser (a-b)²
BB. Chercher un facteur commun
CC. Développer
DD. Rien, c'est déjà factorisé
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Réponse : B — B. Chercher un facteur commun

On repère un facteur commun 2 : 2(x² - 4), puis on reconnaît a² - b² = (x-2)(x+2).

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