Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de l'exponentielle. Pour tout x>0, ln(x) est l'unique réel y tel que e^y = x. Ainsi, ln(e^x)=x et e^{ln(x)}=x. En particulier, ln(1)=0 car e^0=1, et ln(e)=1. Cette fonction est définie sur ]0;+∞[ et permet de résoudre des équations avec exponentielles.
💡 À retenir : ln(x) est la fonction réciproque de exp(x) : ln(e^x)=x et e^{ln(x)}=x.
Complète la phrase
Compléter : ln(e^5) =
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Règles de calcul
Propriétés algébriques
Le logarithme népérien transforme les produits en sommes : ln(a×b)=ln(a)+ln(b) pour a,b>0. De même, ln(a/b)=ln(a)-ln(b) et ln(a^n)=n×ln(a) pour n entier. Ces propriétés sont héritées de l'exponentielle et facilitent la simplification d'expressions. Par exemple, ln(2)+ln(3)=ln(6). Elles permettent aussi de résoudre des équations comme ln(x^2)=2ln(x).
💡 À retenir : ln(a×b)=ln(a)+ln(b) : le logarithme transforme produit en somme.
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Étude de la fonction
Dérivée, variations et limites
La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et sa dérivée est ln'(x)=1/x. Comme 1/x > 0 pour x>0, ln est strictement croissante. Ses limites sont : lim_{x→0+} ln(x) = -∞ et lim_{x→+∞} ln(x) = +∞. La courbe passe par (1,0) et (e,1), avec une tangente horizontale en aucun point. On peut aussi noter que ln(x) est négative sur ]0;1[ et positive sur ]1;+∞[.
💡 À retenir : ln'(x)=1/x, strictement croissante, limites infinies aux bornes.
🧮
Résolution d'équations
Applications et modèles concrets
Le logarithme népérien intervient dans de nombreux domaines : calcul du pH (pH = -log[H+]), échelle de Richter, décroissance radioactive, ou encore temps de doublement d'un capital. Pour résoudre une équation avec ln, on utilise l'exponentielle : ln(x)=2 ⇔ x=e^2. Pour une inéquation, on garde le sens car ln est croissante : ln(x) < 0 ⇔ 0 < x < 1. En finance, si un capital double tous les 10 ans, le taux annuel r vérifie ln(2)=10r, soit r≈6,93%.
💡 À retenir : ln(x)=a ⇔ x=e^a ; la croissance de ln permet de modéliser des phénomènes lents.