Fonction logarithme népérien
Ce que tu dois retenir
ln(x) est la fonction réciproque de exp(x) : ln(e^x)=x et e^{ln(x)}=x.
ln(a×b)=ln(a)+ln(b) : le logarithme transforme produit en somme.
ln'(x)=1/x, strictement croissante, limites infinies aux bornes.
ln(x)=a ⇔ x=e^a ; la croissance de ln permet de modéliser des phénomènes lents.
Teste-toi
◆ Teste-toi
1. Quelle est la valeur de ln(1) ?
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Réponse : A — 0
ln(1)=0 car e^0=1. C'est une conséquence directe de la définition.
2. La dérivée de la fonction ln(x) est :
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Réponse : A — 1/x
ln'(x)=1/x pour tout x>0. C'est une formule fondamentale du cours.
3. Simplifier ln(e^3) donne :
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Réponse : A — 3
ln(e^3)=3 car ln et exp sont réciproques : ln(e^x)=x.
4. Parmi les égalités suivantes, laquelle est correcte ?
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Réponse : A — ln(a×b) = ln(a) + ln(b)
La propriété fondamentale du logarithme népérien est de transformer un produit en somme.
5. Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0 par valeurs positives ?
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Réponse : A — -∞
lim_{x→0+} ln(x) = -∞. La fonction plonge vers les négatifs infinis près de 0.
6. L'équation ln(x) = 0 a pour solution :
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Réponse : A — x = 1
ln(1)=0, donc x=1. Attention, ln n'est pas définie en 0.
7. La fonction ln est strictement croissante sur :
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Réponse : A — ]0;+∞[
Sa dérivée 1/x est positive sur ]0;+∞[, donc ln est strictement croissante sur cet intervalle.
8. ln(8) - ln(2) est égal à :
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Réponse : A — ln(4)
ln(8)-ln(2)=ln(8/2)=ln(4). On utilise la propriété ln(a/b)=ln(a)-ln(b).