Qu'est-ce qu'une matrice ?

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels organisé en lignes et en colonnes. On note sa dimension m×n, où m est le nombre de lignes et n le nombre de colonnes. Chaque nombre est un coefficient noté a_ij, situé à la ligne i et à la colonne j. Par exemple, les notes de trois élèves dans deux matières forment une matrice 3×2. Cette représentation permet de stocker et manipuler des données de façon structurée.

📖 Définition

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels, noté entre parenthèses.

🔍 Exemple

Les notes de trois élèves dans deux matières forment une matrice 3×2.

📢 Rappel

Un vecteur colonne est une matrice à une seule colonne.

💡 À retenir : Une matrice m×n possède m lignes et n colonnes.

Complète la phrase

La matrice A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} possède lignes et colonnes.

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Opérations

Addition, multiplication par un réel et produit matriciel

On additionne deux matrices de mêmes dimensions en additionnant les coefficients de même position. La multiplication par un réel k consiste à multiplier chaque coefficient par k. Le produit A×B n'est possible que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le coefficient c_ij du produit est la somme des produits des coefficients de la ligne i de A par ceux de la colonne j de B. Attention, le produit matriciel n'est en général pas commutatif : AB peut être différent de BA, voire ne pas exister.

⭐ À retenir

Le produit AB n'est défini que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B.

🔍 Exemple

Si A est 2×3 et B est 3×2, alors AB est 2×2.

💡 À retenir : Le produit matriciel n'est pas commutatif en général.

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Inversion

Matrices carrées et inverse

Une matrice carrée possède autant de lignes que de colonnes. La matrice identité I_n a des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs ; elle est l'élément neutre du produit matriciel. Une matrice carrée A est inversible s'il existe B telle que AB = BA = I_n ; on note B = A^{-1}. Pour une matrice 2×2, l'inverse existe si le déterminant ad-bc est non nul. L'inverse permet de résoudre des systèmes linéaires : si AX = B, alors X = A^{-1}B.

📖 Définition

La matrice identité I_n a des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.

⭐ À retenir

Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

💡 À retenir : L'inverse d'une matrice permet de résoudre des systèmes linéaires.

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Applications

Applications concrètes des matrices

Les matrices modélisent de nombreuses situations réelles : transformations géométriques comme les rotations ou les symétries, chaînes de Markov pour prévoir l'évolution de systèmes, réseaux et graphes. Une matrice de transition décrit les probabilités de passer d'un état à un autre ; la somme de chaque colonne vaut 1. Les puissances de cette matrice donnent les probabilités de transition en plusieurs étapes. En géométrie, une rotation de centre O et d'angle θ est représentée par une matrice 2×2 bien précise.

🔍 Exemple

Une rotation de centre O et d'angle θ est représentée par la matrice [[cos θ, -sin θ],[sin θ, cos θ]].

⭐ À retenir

Les puissances d'une matrice de transition donnent les probabilités de transition en plusieurs étapes.

💡 À retenir : Les matrices modélisent des évolutions et des transformations.

Fiche de révision Exercices

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