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Traduire un problème concretLa programmation linéaire sert à optimiser une grandeur, comme maximiser un profit ou minimiser un coût, sous des contraintes exprimées par des inéquations linéaires. On commence par choisir deux variables, souvent notées x et y, qui représentent les quantités à déterminer. Chaque contrainte du problème, qu'elle porte sur le temps, le budget ou les matières premières, se traduit alors par une inéquation du type ax + by ≤ c. Il faut aussi penser aux contraintes de positivité : x ≥ 0 et y ≥ 0. Une fois toutes les inéquations écrites, on obtient le système de contraintes du problème.
📖 Définition
Les variables de décision x et y représentent les quantités inconnues que l'on cherche à optimiser.
📢 Rappel
Une inéquation linéaire à deux inconnues s'écrit ax + by ≤ c ou ax + by ≥ c.
🔍 Exemple
Si un bracelet rapporte 3 € et un collier 5 €, le profit s'écrit P = 3x + 5y.
💡 À retenir : Un problème d'optimisation se transforme en un système d'inéquations à deux inconnues.
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Représenter les contraintesChaque inéquation du système correspond à un demi-plan délimité par une droite. Pour tracer la droite d'équation ax + by = c, on choisit deux points simples, par exemple en posant x = 0 puis y = 0. On teste ensuite un point, souvent l'origine, pour savoir quel demi-plan conserver : si l'inégalité est vérifiée, on garde ce côté, sinon on hachure l'autre côté. L'intersection de tous les demi-plans obtenus forme un polygone, appelé domaine réalisable : c'est l'ensemble des couples (x ; y) qui respectent toutes les contraintes. Les bords sont inclus lorsque les inégalités sont larges, c'est-à-dire avec ≤ ou ≥.
📢 Rappel
Une droite d'équation ax + by = c sépare le plan en deux demi-plans.
📖 Définition
Le domaine réalisable est l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient toutes les contraintes.
⭐ À retenir
On hachure la zone qui ne convient pas pour garder lisible le domaine des solutions.
💡 À retenir : Le domaine réalisable est l'intersection de tous les demi-plans solutions.
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Exprimer le but à atteindreLa grandeur à optimiser, qu'il s'agisse d'un profit, d'un coût ou d'une durée, s'appelle la fonction objectif ; elle s'écrit z = ax + by. Pour une valeur fixée k, l'ensemble des points vérifiant ax + by = k est une droite de niveau. En faisant varier k, on obtient des droites parallèles entre elles, car elles ont le même coefficient directeur. Pour maximiser z, on translate la droite de niveau dans le sens qui augmente k, jusqu'à sortir du domaine réalisable. Le dernier point de contact est souvent un sommet du polygone.
📖 Définition
La fonction objectif est l'expression z = ax + by que l'on cherche à rendre maximale ou minimale.
⭐ À retenir
Les droites de niveau sont parallèles : seuls les points du domaine qui touchent la droite extrême sont candidats à l'optimum.
🔍 Exemple
Pour z = 3x + 5y, les droites 3x + 5y = 10, 3x + 5y = 20, etc. sont parallèles.
💡 À retenir : La fonction objectif z = ax + by est représentée par des droites parallèles de niveau k.
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Résoudre et interpréterPour résoudre, on commence par tracer le domaine réalisable. On calcule ensuite les coordonnées des sommets du polygone, en résolvant les systèmes de deux équations de droites qui se croisent. On évalue la fonction objectif en chaque sommet : la plus grande valeur donne le maximum, la plus petite donne le minimum. On peut aussi utiliser la droite de niveau pour visualiser ce sommet optimal. Enfin, on interprète concrètement le résultat : par exemple, produire 4 bracelets et 6 colliers pour un profit maximal de 42 €.
🔍 Exemple
Sommet A(4 ; 6) : z = 3×4 + 5×6 = 42. On compare cette valeur à celles des autres sommets.
⭐ À retenir
Toujours vérifier que le point optimal appartient bien au domaine réalisable et répond à la question posée.
💡 À retenir : L'optimum est atteint en un sommet du domaine réalisable, ou sur tout un côté si les droites sont parallèles.