Mathématiques · 1ere

Programmation linéaire et optimisation

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Mise en équations du problème

Un problème d'optimisation se transforme en un système d'inéquations à deux inconnues.

Chapitre 2 — Le domaine réalisable

Le domaine réalisable est l'intersection de tous les demi-plans solutions.

Chapitre 3 — Fonction objectif et droites de niveau

La fonction objectif z = ax + by est représentée par des droites parallèles de niveau k.

Chapitre 4 — Trouver l'optimum graphiquement

L'optimum est atteint en un sommet du domaine réalisable, ou sur tout un côté si les droites sont parallèles.

Teste-toi

1. Dans un problème de programmation linéaire, les contraintes de positivité s'écrivent :

AA. x ≥ 0 et y ≥ 0
BB. x > 0 et y > 0
CC. x ≤ 0 et y ≤ 0
DD. x ≠ 0 et y ≠ 0
Voir la réponse

Réponse : A — A. x ≥ 0 et y ≥ 0

Les quantités produites ne peuvent pas être négatives, d'où x ≥ 0 et y ≥ 0.

2. La droite d'équation 2x + 3y = 6 passe par les points :

AA. (0 ; 3) et (2 ; 0)
BB. (0 ; 2) et (3 ; 0)
CC. (0 ; 6) et (6 ; 0)
DD. (0 ; 0) et (1 ; 1)
Voir la réponse

Réponse : B — B. (0 ; 2) et (3 ; 0)

En posant x = 0, on obtient 3y = 6 donc y = 2 ; en posant y = 0, on obtient 2x = 6 donc x = 3.

3. Le domaine réalisable est :

AA. l'ensemble des points vérifiant toutes les contraintes
BB. l'ensemble des points vérifiant au moins une contrainte
CC. une droite unique
DD. l'ensemble des points où la fonction objectif est nulle
Voir la réponse

Réponse : A — A. l'ensemble des points vérifiant toutes les contraintes

Le domaine réalisable regroupe tous les couples (x ; y) qui satisfont simultanément toutes les inéquations du système.

4. La fonction objectif z = 4x + 2y est représentée par :

AA. un cercle
BB. des droites perpendiculaires
CC. des droites parallèles de coefficient directeur -2
DD. une parabole
Voir la réponse

Réponse : C — C. des droites parallèles de coefficient directeur -2

En isolant y, on obtient y = -2x + z/2, donc toutes les droites de niveau ont pour coefficient directeur -2 et sont parallèles.

5. Pour maximiser une fonction objectif, on translate la droite de niveau :

AA. dans le sens qui augmente la valeur de z jusqu'au dernier contact avec le domaine
BB. dans n'importe quel sens
CC. vers l'origine uniquement
DD. parallèlement à l'axe des ordonnées
Voir la réponse

Réponse : A — A. dans le sens qui augmente la valeur de z jusqu'au dernier contact avec le domaine

On déplace la droite de niveau dans le sens de croissance de z ; le dernier point de contact avec le domaine réalisable correspond au maximum.

6. Si le domaine réalisable est le triangle de sommets (0 ; 0), (4 ; 0), (0 ; 6), où peut se trouver l'optimum de z = x + y ?

AA. (0 ; 0)
BB. (4 ; 0)
CC. (2 ; 3)
DD. (0 ; 6)
Voir la réponse

Réponse : D — D. (0 ; 6)

On évalue z en chaque sommet : z(0 ; 0) = 0, z(4 ; 0) = 4, z(0 ; 6) = 6. Le maximum est donc atteint en (0 ; 6).

7. Les coordonnées des sommets du domaine s'obtiennent en résolvant :

AA. une seule équation
BB. la fonction objectif égale à zéro
CC. les systèmes formés par deux équations de droites frontières
DD. n'importe quelle inéquation
Voir la réponse

Réponse : C — C. les systèmes formés par deux équations de droites frontières

Un sommet est l'intersection de deux droites frontières ; on résout donc le système de leurs deux équations.

8. Une droite de niveau de la fonction z = 3x + 2y a pour équation :

AA. 3x - 2y = k
BB. 2x + 3y = k
CC. x + y = k
DD. 3x + 2y = k
Voir la réponse

Réponse : D — D. 3x + 2y = k

Par définition, une droite de niveau correspond à z = k, donc 3x + 2y = k.

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