Mathématiques · 1ere

Produit scalaire dans le plan

Ce que tu dois retenir

Chapitre 1 — Du travail d'une force au produit scalaire

Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur : il mesure l'effet mutuel de deux vecteurs.

Chapitre 2 — Expression analytique dans un repère orthonormé

La formule analytique \( x x' + y y' \) rend le produit scalaire très rapide à calculer.

Chapitre 3 — Propriétés et orthogonalité

Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité de deux vecteurs non nuls.

Chapitre 4 — Applications en géométrie

Un vecteur normal à une droite fournit directement les coefficients \( a \) et \( b \) de son équation cartésienne.

Teste-toi

1. Le produit scalaire de deux vecteurs est :

AA. un vecteur
BB. un nombre réel
CC. un angle
DD. une norme
Voir la réponse

Réponse : B — B. un nombre réel

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel, positif, négatif ou nul.

2. Si \( \|\vec{u}\| = 5 \), \( \|\vec{v}\| = 2 \) et l'angle \( (\vec{u},\vec{v}) = 60° \), alors \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) vaut :

AA. 10
BB. 5
CC. 5√3
DD. 0
Voir la réponse

Réponse : B — B. 5

5 × 2 × cos(60°) = 10 × 0,5 = 5.

3. Dans un repère orthonormé, si \( \vec{u}(2;-1) \) et \( \vec{v}(-3;4) \), alors \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) vaut :

AA. -10
BB. 10
CC. -2
DD. 2
Voir la réponse

Réponse : A — A. -10

2 × (-3) + (-1) × 4 = -6 - 4 = -10.

4. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si :

AA. ils sont colinéaires
BB. leur produit scalaire est nul
CC. leur produit scalaire vaut 1
DD. leur norme est égale
Voir la réponse

Réponse : B — B. leur produit scalaire est nul

C'est la propriété fondamentale : orthogonalité équivaut à produit scalaire nul.

5. Pour tout vecteur \( \vec{u} \), le produit scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{u} \) est égal à :

AA. \( \|\vec{u}\| \)
BB. \( \|\vec{u}\|^2 \)
CC. 0
DD. \( 2\|\vec{u}\| \)
Voir la réponse

Réponse : B — B. \( \|\vec{u}\|^2 \)

Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme, toujours positif ou nul.

6. Un vecteur normal à la droite d'équation \( 2x - 3y + 5 = 0 \) est :

AA. \( \vec{n}(2;-3) \)
BB. \( \vec{n}(-3;2) \)
CC. \( \vec{n}(2;3) \)
DD. \( \vec{n}(5;2) \)
Voir la réponse

Réponse : A — A. \( \vec{n}(2;-3) \)

Les coefficients de x et y dans l'équation cartésienne donnent les coordonnées d'un vecteur normal : (2 ; -3).

7. Si \( \vec{u}(1;2) \) et \( \vec{v}(-2;1) \), alors ces deux vecteurs sont :

AA. orthogonaux
BB. colinéaires
CC. égaux
DD. opposés
Voir la réponse

Réponse : A — A. orthogonaux

1 × (-2) + 2 × 1 = 0, donc leur produit scalaire est nul : ils sont orthogonaux.

8. Pour calculer l'angle \( \theta \) entre deux vecteurs non nuls, on utilise :

AA. \( \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \)
BB. \( \sin\theta = \vec{u} \cdot \vec{v} \)
CC. \( \tan\theta = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \)
DD. \( \cos\theta = \vec{u} \cdot \vec{v} \)
Voir la réponse

Réponse : A — A. \( \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \)

La formule du cosinus relie le produit scalaire aux normes des vecteurs.

Retour au cours ruedusavoir.com · Apprendre, c'est avancer.